確認テストの解答

確率論入門　第8章 §8.6

8.1 の解答

1. 8.1-1 偶数番目と奇数番目の和に分けると、次の2式が成り立つ。

$$\begin{aligned}G_X(-1)&=\sum_kp_k(-1)^k=\sum_{k\,\text{偶数}}p_k-\sum_{k\,\text{奇数}}p_k,\\ G_X(1)&=\sum_{k\,\text{偶数}}p_k+\sum_{k\,\text{奇数}}p_k=1\end{aligned}$$

2式を足して2で割ると、$P(X\ \text{が偶数})=\frac12\bigl(1+G_X(-1)\bigr)$ を得る。$X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ では $G_X(-1)=\mathrm{e}^{-2\lambda}$ である。したがって確率は $\frac12(1+\mathrm{e}^{-2\lambda})$ である。2. 8.1-2 $\left\vert s\right\vert \le1$ で $\left\vert (1-p)s\right\vert <1$ だから、等比級数の和の公式より

$$G(s)=\sum_{k\ge1}(1-p)^{k-1}p\,s^k=ps\sum_{j\ge0}\bigl((1-p)s\bigr)^j=\frac{ps}{1-(1-p)s}$$

である。この式は $\left\vert s\right\vert <1/(1-p)$ まで有効で、1の近くで微分できる。$q=1-p$ と書くと

$$G'(s)=\frac{p(1-qs)+psq}{(1-qs)^2}=\frac{p}{(1-qs)^2},\qquad G''(s)=\frac{2pq}{(1-qs)^3}$$

である。したがって

$$\begin{aligned}G'(1)&=\frac{p}{p^2}=\frac1p,\qquad G''(1)=\frac{2pq}{p^3}=\frac{2q}{p^2},\\ E[X]&=\frac1p,\qquad V[X]=\frac{2q}{p^2}+\frac1p-\frac1{p^2}=\frac{2q+p-1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}\end{aligned}$$

を得る。3. 8.1-3 定理 8.5 から

$$G_S(s)=G_N\bigl(G_X(s)\bigr)=\exp\bigl(\lambda(1-p+ps-1)\bigr)=\exp\bigl(\lambda p(s-1)\bigr)$$

である。これは $\mathrm{Po}(\lambda p)$ の確率母関数なので、命題 8.2 から $S\sim\mathrm{Po}(\lambda p)$ である。Poisson 分布に従う数の事象を独立に確率 $p$ で残すと、残った数はまた Poisson 分布に従い、平均は $p$ 倍になる。4. 8.1-4 $r_k=P(X>k)=\sum_{j>k}p_j$ と置く。$\left\vert s\right\vert <1$ で、非負の項の二重和の順序を入れ替えて（あるいは絶対収束から）

$$\begin{aligned}(1-s)\sum_{k\ge0}r_ks^k&=\sum_{k\ge0}r_ks^k-\sum_{k\ge1}r_{k-1}s^k=r_0+\sum_{k\ge1}(r_k-r_{k-1})s^k\\ &=(1-p_0)-\sum_{k\ge1}p_ks^k=1-G_X(s)\end{aligned}$$

となる。ここで $r_0=1-p_0$、$r_k-r_{k-1}=-p_k$ を使った。$r_k\le1$ より、左辺の級数は $\left\vert s\right\vert <1$ で絶対収束する。

$s\uparrow1$ とする。

• 左辺の $\sum_kr_ks^k$ は、単調収束定理により $\sum_kr_k$ に近づく。
• 右辺の比は、平均値の定理により、ある $c\in(s,1)$ での $G_X'(c)$ に等しい。定理 8.3 から、これは $E[X]$ に近づく。

よって $E[X]=\sum_{k\ge0}P(X>k)$ である（両辺が無限大の場合も含む）。

8.2 の解答

1. 8.2-1 定義から

$$M_{aX+b}(t)=E[\mathrm{e}^{t(aX+b)}]=\mathrm{e}^{bt}E[\mathrm{e}^{(at)X}]=\mathrm{e}^{bt}M_X(at)$$

である。したがって $t\in D_{aX+b}$ と $at\in D_X$ は同値である。

$a=-2$ では条件は $-2t\in(-1,2)$ である。これは $t\in(-1,\frac12)$ と同じである。よって $D_{-2X+1}=(-1,\frac12)$ である。2. 8.2-2 $M(t)=\exp\bigl(\lambda(\mathrm{e}^t-1)\bigr)$ を順に微分する。

$$\begin{aligned}M'&=\lambda\mathrm{e}^tM,\\ M''&=\lambda\mathrm{e}^tM+\lambda\mathrm{e}^tM'=(\lambda\mathrm{e}^t+\lambda^2\mathrm{e}^{2t})M,\\ M'''&=(\lambda\mathrm{e}^t+2\lambda^2\mathrm{e}^{2t})M+(\lambda\mathrm{e}^t+\lambda^2\mathrm{e}^{2t})\lambda\mathrm{e}^tM\end{aligned}$$

原点で $M=1$ だから、次のようになる。

$$E[X^3]=M'''(0)=\lambda+2\lambda^2+\lambda^2+\lambda^3=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda$$ 3. 8.2-3 $t\neq0$ で $M_X(t)=\int_0^1\mathrm{e}^{tx}\,\mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}$ である。また $M_X(0)=1$ である。指数関数の級数から

$$\frac{\mathrm{e}^t-1}{t}=\sum_{k\ge1}\frac{t^{k-1}}{k!}=\sum_{k\ge0}\frac{t^k}{(k+1)!}=\sum_{k\ge0}\frac{1}{k+1}\cdot\frac{t^k}{k!}$$

となる。(8.13) と係数を比べて、$E[X^k]=\frac{1}{k+1}$ を得る。4. 8.2-4 $\left\vert t\right\vert <1$ のとき

$$M_X(t)=\frac12\int_0^\infty\mathrm{e}^{-(1-t)x}\,\mathrm{d} x+\frac12\int_{-\infty}^0\mathrm{e}^{(1+t)x}\,\mathrm{d} x=\frac12\Bigl(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\Bigr)=\frac{1}{1-t^2}$$

である（$\left\vert t\right\vert \ge1$ ではどちらかの積分が発散する）。$\frac{1}{1-t^2}=1+t^2+t^4+\cdots$ を $\sum\frac{E[X^k]}{k!}t^k$ と比べる。$E[X^2]=2!=2$、$E[X^4]=4!=24$ を得る。5. 8.2-5 $\mu=E[X]$ と置く。不等式 $\mathrm{e}^y\ge1+y$ を $y=t(X-\mu)$ に使う。両辺に定数 $\mathrm{e}^{t\mu}$ を掛ける。

$$\mathrm{e}^{tX}\ge\mathrm{e}^{t\mu}\bigl(1+t(X-\mu)\bigr)$$

右辺は可積分で、期待値は $\mathrm{e}^{t\mu}$ である。したがって $M_X(t)\ge\mathrm{e}^{t\mu}$ を得る（$M_X(t)=\infty$ の場合も成り立つ）。

凸性については、$s,t\in D_X$、$0\le\theta\le1$ とする。指数関数の凸性から、各点で次が成り立つ。

$$\mathrm{e}^{(\theta s+(1-\theta)t)X}\le\theta\mathrm{e}^{sX}+(1-\theta)\mathrm{e}^{tX}$$

期待値をとれば $M_X(\theta s+(1-\theta)t)\le\theta M_X(s)+(1-\theta)M_X(t)$ となる。

8.3 の解答

1. 8.3-1 前半は $\varphi_X(t)=\frac12\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+\frac12\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}=\cos t$ である。後半の確率変数については、次のようになる。

$$\begin{aligned}\varphi_X(t)&=\frac34\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+\frac14\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}=\cos t+\frac{\mathrm{i}}{2}\sin t,\\ \varphi_{-X}(t)&=\frac34\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}+\frac14\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}=\cos t-\frac{\mathrm{i}}{2}\sin t\end{aligned}$$

$-X$ は $-1$ を確率3/4、1を確率1/4でとるからである。これは $\overline{\varphi_X(t)}$ に等しい。2. 8.3-2 $\varphi_X(t)=G_X(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t})=\exp\bigl(\lambda(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}-1)\bigr)$ である。微分すると

$$\begin{aligned}\varphi'&=\mathrm{i}\lambda\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\varphi,\\ \varphi''&=\bigl(-\lambda\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+(\mathrm{i}\lambda\mathrm{e}^{\mathrm{i} t})^2\bigr)\varphi=-(\lambda\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}+\lambda^2\mathrm{e}^{2\mathrm{i} t})\varphi\end{aligned}$$

である。原点で $\varphi'(0)=\mathrm{i}\lambda$、$\varphi''(0)=-(\lambda+\lambda^2)$ である。定理 8.18 より

$$E[X]=\lambda,\qquad E[X^2]=\lambda+\lambda^2,\qquad V[X]=\lambda.$$ 3. 8.3-3 複素数 $c=-(\lambda-\mathrm{i} t)$ について、$\frac{d }{d x}\mathrm{e}^{cx}=c\mathrm{e}^{cx}$ である（実部と虚部を微分すれば確かめられる）。したがって

$$\varphi_X(t)=\int_0^\infty\lambda\mathrm{e}^{-(\lambda-\mathrm{i} t)x}\,\mathrm{d} x=\Bigl[\frac{\lambda\,\mathrm{e}^{-(\lambda-\mathrm{i} t)x}}{-(\lambda-\mathrm{i} t)}\Bigr]_0^\infty=\frac{\lambda}{\lambda-\mathrm{i} t}$$

である。$\left\vert \mathrm{e}^{-(\lambda-\mathrm{i} t)x}\right\vert =\mathrm{e}^{-\lambda x}\to0$ なので、上端の値は0である。分母を実数化すると

$$\frac{\lambda}{\lambda-\mathrm{i} t}=\frac{\lambda(\lambda+\mathrm{i} t)}{\lambda^2+t^2}=\frac{\lambda^2}{\lambda^2+t^2}+\mathrm{i}\,\frac{\lambda t}{\lambda^2+t^2}$$

となる。$\left\vert t\right\vert \to\infty$ で $\left\vert \varphi_X(t)\right\vert =\lambda/\sqrt{\lambda^2+t^2}\to0$ である。4. 8.3-4 $\psi$ がある $X$ の特性関数だったとする。$\psi(t)=1-t^4+ o(t^4)$ だから、$\psi$ は原点で2回微分可能である。1階と2階の微分係数はともに0である。命題 8.19 から $E[X^2]=-\psi''(0)=0$ で、ほとんど確実に $X=0$ である。すると特性関数は恒等的に1のはずだが、$\psi(1)=\mathrm{e}^{-1}\neq1$ で矛盾する。よって $\psi$ は特性関数ではない。5. 8.3-5 $p_j=P(X=j)$ と置く。$\varphi_X(t)=\sum_jp_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} jt}$ であり、$\sum_j\left\vert p_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}(j-k)t}\right\vert =1$ である。したがって Fubini の定理（あるいは優収束定理）により、積分と和を交換できる。

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kt}\varphi_X(t)\,\mathrm{d} t=\sum_jp_j\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(j-k)t}\,\mathrm{d} t=p_k$$

最後の等号は次による。

• $j=k$ なら、積分は $2\pi$ である。
• $j\neq k$ なら、積分は $\bigl[\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(j-k)t}}{\mathrm{i}(j-k)}\bigr]_{-\pi}^{\pi}=0$ である。

8.4 の解答

1. 8.4-1 命題 8.24 から、2次以上で $\kappa_k(Y)=a^k\kappa_k(X)$ である。したがって

$$\gamma_1(Y)=\frac{a^3\kappa_3}{(a^2\kappa_2)^{3/2}}=\frac{a^3}{\left\vert a\right\vert ^3}\gamma_1(X)=\mathrm{sgn}(a)\gamma_1(X),\qquad \gamma_2(Y)=\frac{a^4\kappa_4}{a^4\kappa_2^2}=\gamma_2(X).$$ 2. 8.4-2 すべての次数でキュムラントは $\lambda$ だから、次のようになる。

$$\gamma_1=\frac{\lambda}{\lambda^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt\lambda},\qquad \gamma_2=\frac{\lambda}{\lambda^2}=\frac1\lambda$$

$\lambda=4$ では、歪度は1/2、尖度は1/4となる。3. 8.4-3 $\frac{\sinh u}{u}=1+\frac{u^2}{6}+\frac{u^4}{120}+\mathcal{O}(u^6)$ に $u=t/2$ を代入すると、次のようになる。

$$M_X(t)=1+\frac{t^2}{24}+\frac{t^4}{1920}+\mathcal{O}(t^6)$$

$\log(1+v)=v-\frac{v^2}{2}+\cdots$ を使うと

$$K_X(t)=\frac{t^2}{24}+\frac{t^4}{1920}-\frac12\Bigl(\frac{t^2}{24}\Bigr)^2+\mathcal{O}(t^6)=\frac{t^2}{24}+\Bigl(\frac{1}{1920}-\frac{1}{1152}\Bigr)t^4+\mathcal{O}(t^6)=\frac{t^2}{24}-\frac{t^4}{2880}+\mathcal{O}(t^6)$$

となる（$\frac{1}{1920}-\frac{1}{1152}=\frac{3-5}{5760}=-\frac{1}{2880}$）。係数を比べて

$$\kappa_2=\frac{2!}{24}=\frac{1}{12},\qquad \kappa_4=-\frac{4!}{2880}=-\frac{1}{120}$$

である。尖度は $\gamma_2=\frac{-1/120}{1/144}=-\frac{6}{5}$ で、正規分布より裾が軽い（$\gamma_2<0$）。4. 8.4-4 次の値から始める。

$$\mu_0=1,\quad \mu_1=0,\quad \mu_2=\kappa_2,\quad \mu_3=\kappa_3,\quad \mu_4=\kappa_4+3\kappa_2^2$$

$n=5$ では

$$\mu_5=\binom41\kappa_2\mu_3+\binom42\kappa_3\mu_2+\binom43\kappa_4\mu_1+\binom44\kappa_5\mu_0=4\kappa_2\kappa_3+6\kappa_3\kappa_2+0+\kappa_5=\kappa_5+10\kappa_2\kappa_3$$

である。$n=6$ では

$$\begin{aligned}\mu_6&=\binom51\kappa_2\mu_4+\binom52\kappa_3\mu_3+\binom53\kappa_4\mu_2+\binom54\kappa_5\mu_1+\binom55\kappa_6\\ &=5\kappa_2(\kappa_4+3\kappa_2^2)+10\kappa_3^2+10\kappa_4\kappa_2+0+\kappa_6=\kappa_6+15\kappa_2\kappa_4+10\kappa_3^2+15\kappa_2^3\end{aligned}$$

となる。5. 8.4-5 確認テスト 8.2-4 から、$\left\vert t\right\vert <1$ で次が成り立つ。

$$M_X(t)=\frac{1}{1-t^2},\qquad K_X(t)=-\log(1-t^2)=t^2+\frac{t^4}{2}+\frac{t^6}{3}+\cdots$$

係数を比べて $\kappa_2=2!\cdot1=2$、$\kappa_4=4!\cdot\frac12=12$ である。奇数次は0である。尖度は $\gamma_2=\frac{12}{2^2}=3$ で、正規分布より裾が重い。独立な $n$ 個の和の尖度は、命題 8.27 から $\frac{3}{n}$ である。