この章のまとめ

確率論入門　第8章 §8.5

この章では、分布に関数を対応させる3つの変換を導入した。どれも指数関数の形をした関数の期待値である。独立な確率変数については期待値が積に分かれるので、独立和の変換は変換の積になる。第7章で畳み込みとして書いた独立和の分布は、変換の世界では掛け算として扱える。

(1) 確率母関数

確率母関数 $G_X(s)=E[s^X]$ は、非負整数値の分布をべき級数の係数として持つ。

• 係数を読めば分布が分かり、分布をただ1つに定めることも初等的に示せた。
• 1での左微分係数は、階乗モーメントになる。
• ランダム和の確率母関数は、合成 $G_N\circ G_X$ になる。この合成の公式から、Galton–Watson 過程の絶滅確率が $G(s)=s$ の最小の解であることを導いた。子の数の平均が1以下なら、確実に絶滅する。

(2) 積率母関数

積率母関数 $M_X(t)=E[\mathrm{e}^{tX}]$ は、0の近くで有限ならすべてのモーメントを Taylor 係数として持ち、分布を決める（一意性の証明は第9章に送った）。

• 有限になる範囲は0を含む区間である。Cauchy 分布のように、原点だけになる場合もある。
• 対数正規分布は、すべてのモーメントが有限でも積率母関数が有限にならない。同じモーメントをもつ別の分布が存在することを、例題で確かめた。

(3) 特性関数

特性関数 $\varphi_X(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}]$ は、すべての分布に対して定まる Fourier 変換である。絶対値が1以下で、一様連続、正定値という性質をもつ。

• $n$ 次のモーメントが有限なら $n$ 回微分できる。原点のまわりで $n$ 次までの Taylor 展開 (8.18) が、1つ上の次数のモーメントを仮定せずに成り立つ。
• 逆に、原点で2回微分可能なら分散は有限である。
• 正規分布の特性関数 $\mathrm{e}^{-t^2/2}$ は、微分方程式 $\varphi'=-t\varphi$ を解いて求めた。

(4) キュムラント

キュムラントは積率母関数の対数の Taylor 係数で、独立和で足し算になり、定数倍で冪の分だけ変わる。

• 2次は分散、3次は平均のまわりの3次モーメント、4次は $\mu_4-3\mu_2^2$ である。
• 正規分布では3次以上がすべて0になる。標準化した歪度・尖度は、正規分布からのずれを測る。
• 独立同分布の和では、歪度が $n^{-1/2}$、尖度が $n^{-1}$ の速さで0に近づく。

(5) この先の章とのつながり

• 次の第9章では、特性関数から分布を復元する Lévy の反転公式を示し、特性関数が分布を一意に定めることを証明する。それによって、この章で認めた積率母関数の一意性と、独立和の分布の再生性が完全に正当化される。
• 第10章では、積率母関数から Chernoff 限界を作る。
• 第13章では、(8.19) の形の Taylor 展開と Lévy の連続性定理を組み合わせて、中心極限定理を証明する。