特性関数とその性質

(1) 期待値が0なら明らかである。そうでないとき、$\rho>0$ として $E[W]=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と極形式で書く。すると

$$\left\vert E[W]\right\vert =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}E[W]=E[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}W]=\operatorname{Re} E[\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}W]=E[\operatorname{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}W)]\le E[\left\vert \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}W\right\vert ]=E[\left\vert W\right\vert ]$$

となる。3つ目の等号は左辺が実数であることによる。4つ目は定義、不等号は $\operatorname{Re} w\le\left\vert w\right\vert$ による。

(2) $g=g_1+\mathrm{i} g_2$、$h=h_1+\mathrm{i} h_2$ と実部・虚部に分ける。積を展開すると、$E[g_j(X)h_k(Y)]$ の形の4つの項になる。各項に (8.2) を使い、まとめ直せばよい。

(1) $\varphi(0)=E[1]=1$ である。補題 8.13 (1) から $\left\vert \varphi(t)\right\vert \le E[\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}\right\vert ]=1$ である。

(2) $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} tX}=\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}}$ と $E[\overline W]=\overline{E[W]}$ による。$\varphi_{-X}(t)=E[\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(-X)}]=\varphi_X(-t)$ だから、後半も従う。

(3) $\mathrm{e}^{\mathrm{i} t(aX+b)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} bt}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(at)X}$ の期待値をとればよい。

(4) 実数 $t,h$ をとる。補題 8.13 (1) から

$$\left\vert \varphi(t+h)-\varphi(t)\right\vert =\left\vert E[\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}(\mathrm{e}^{\mathrm{i} hX}-1)]\right\vert \le E[\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i} hX}-1\right\vert ]$$

となる。右辺は $t$ を含まない。$h\to0$ のとき、各点で $\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i} hX}-1\right\vert \to0$ である。また中身は2以下である。

優収束定理により、右辺は0に収束する。右辺が $t$ によらないので、収束は $t$ について一様である。

(5) 二重和の中身は

$$\sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(t_j-t_k)X}=\Bigl(\sum_jc_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_jX}\Bigr)\overline{\Bigl(\sum_kc_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_kX}\Bigr)}=\Bigl\lvert\sum_jc_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_jX}\Bigr\rvert^2\ge0$$

であり、この期待値が (8.15) の左辺に等しい。非負の確率変数の期待値なので非負である。

左辺の絶対値の中身を $R_n(x)$ と書く。$R_{-1}(x)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$ と置くと、0以上の $n$ で

$$R_n(x)=\mathrm{i}\int_0^xR_{n-1}(s)\,\mathrm{d} s$$

が成り立つ。実際、右辺を微分すると $\mathrm{i} R_{n-1}(x)$ である。左辺の導関数も

$$\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\sum_{k=1}^{n}\frac{\mathrm{i}^kx^{k-1}}{(k-1)!}=\mathrm{i} R_{n-1}(x)$$

で一致し、両辺とも原点で0である。$\left\vert R_{-1}\right\vert =1$ から始めて、帰納的に次を得る。

$$\left\vert R_n(x)\right\vert \le\Bigl\lvert\int_0^x\frac{\left\vert s\right\vert ^n}{n!}\,\mathrm{d} s\Bigr\rvert=\frac{\left\vert x\right\vert ^{n+1}}{(n+1)!}$$

$n=0$ では $\left\vert R_0(x)\right\vert \le\left\vert x\right\vert$ である。これが第1の評価である。

第2の評価は、次の2つから従う。

$$\begin{aligned}R_n(x)&=R_{n-1}(x)-\frac{(\mathrm{i} x)^n}{n!},\\ \left\vert R_{n-1}(x)\right\vert &\le\frac{\left\vert x\right\vert ^n}{n!} &&\text{（}{n-1}\text{ についての第1の評価）}\end{aligned}$$

これらから $\left\vert R_n(x)\right\vert \le\frac{\left\vert x\right\vert ^n}{n!}+\frac{\left\vert x\right\vert ^n}{n!}$ となる。$n=0$ では $\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-1\right\vert \le2$ である。

(1) $k$ についての帰納法で示す。$k\le n$ とし、1つ手前の階数まで正しいとする（$k=1$ のときは定義そのもの）。$h\neq0$ について

$$\frac{\varphi_X^{(k-1)}(t+h)-\varphi_X^{(k-1)}(t)}{h}=E\Bigl[(\mathrm{i} X)^{k-1}\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} hX}-1}{h}\Bigr]$$

である。補題 8.17 の $n=0$ の場合から、$\left\vert \mathrm{e}^{\mathrm{i} hX}-1\right\vert \le\left\vert hX\right\vert$ である。したがって期待値の中身の絶対値は $\left\vert X\right\vert ^k$ 以下である。$\left\vert x\right\vert ^k\le1+\left\vert x\right\vert ^n$ から $E[\left\vert X\right\vert ^k]\le1+E[\left\vert X\right\vert ^n]<\infty$ なので、これは可積分である。

$h\to0$ のとき、中身は各点で $(\mathrm{i} X)^k\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}$ に収束する。0に収束する任意の数列 $h_m$ に優収束定理を使えば、

$$\varphi_X^{(k)}(t)=E[(\mathrm{i} X)^k\mathrm{e}^{\mathrm{i} tX}]$$

を得る。最高階の導関数の連続性も、$\left\vert X\right\vert ^n$ を優関数として優収束定理を使えば示せる。

(2) 補題 8.17 を $x=tX(\omega)$ に使って期待値をとる。補題 8.13 (1) から剰余の評価を得る。これを $\left\vert t\right\vert ^n$ で割ると

$$\frac{1}{\left\vert t\right\vert ^n}\Bigl\lvert\varphi_X(t)-\sum_{k=0}^n\frac{(\mathrm{i} t)^k}{k!}E[X^k]\Bigr\rvert\le E\Bigl[\min\Bigl(\frac{\left\vert t\right\vert \,\left\vert X\right\vert ^{n+1}}{(n+1)!},\ \frac{2\left\vert X\right\vert ^n}{n!}\Bigr)\Bigr]$$

となる。右辺の中身は $\frac{2\left\vert X\right\vert ^n}{n!}$ 以下で可積分である。また $t\to0$ で、各点について0に収束する（$\left\vert X\right\vert ^{n+1}$ は有限の値）。優収束定理から右辺は0に収束し、(8.18) を得る。

$\varphi_X(h)+\varphi_X(-h)=2E[\cos hX]$ だから

$$\frac{2-\varphi_X(h)-\varphi_X(-h)}{h^2}=E\Bigl[\frac{2(1-\cos hX)}{h^2}\Bigr]$$

である。$\varphi_X$ が0で2回微分可能なので、Peano 型の剰余をもつ Taylor の定理から

$$\varphi_X(\pm h)=1\pm\varphi_X'(0)h+\frac12\varphi_X''(0)h^2+ o(h^2).$$

したがって、左辺は $h\to0$ で $-\varphi_X''(0)$ に収束する。右辺の中身は非負である。$1-\cos u=\frac{u^2}{2}+ o(u^2)$ なので、刻みを0に近づけると、中身は各点で $X^2$ に収束する。Fatou の補題から

$$E[X^2]\le\liminf_{h\to0}E\Bigl[\frac{2(1-\cos hX)}{h^2}\Bigr]=-\varphi_X''(0)<\infty$$

となる。2次のモーメントが有限と分かったので、定理 8.18 から $\varphi_X''(0)=-E[X^2]$ である。

十分性を示す。整数値の $K$ を使って $X=b+\frac{2\pi}{t_0}K$ と書けるとする。このとき

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_0X}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_0b}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} K}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t_0b}$$

は定数で、$\left\vert \varphi_X(t_0)\right\vert =1$ である。

必要性を示す。$\varphi_X(t_0)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ と書くと、$E[\mathrm{e}^{\mathrm{i}(t_0X-\theta)}]=1$ である。実部をとると $E[1-\cos(t_0X-\theta)]=0$ となる。

中身は非負なので、ほとんど確実に $\cos(t_0X-\theta)=1$ である。つまり $t_0X-\theta\in2\pi\mathbb{Z}$ である。$b=\theta/t_0$ と置けばよい。