Slutsky の定理と連続写像定理

区間 $(0,1)$ の上の恒等写像 $U(u)=u$ は、一様分布に従う。逆変換法から、$Y_n=F_n^{-1}(U)$ の分布関数は $F_n$ である。同様に $Y=F^{-1}(U)$ の分布関数は $F$ である。示すべきことは、$F^{-1}$ が連続な点 $u$ のすべてで、次が成り立つことである。

$$F_n^{-1}(u)\to F^{-1}(u)$$

$F^{-1}$ は非減少関数なので、不連続点は高々可算個である（各不連続点で跳び上がる区間に有理数が1つずつとれる）。可算集合の Lebesgue 測度は 0 だから、これで $Y_n\to Y$ a.s. を結論することができる。以下、$F^{-1}$ が点 $u\in(0,1)$ で連続であるとする。その値を $x$ と置く。

下からの評価：$y<x$ を $F$ の連続点とする。

1. $F^{-1}(u)\le y$ ではない。よって (11.3) から、$u\le F(y)$ ではなく $F(y)<u$ である。
2. $F_n(y)\to F(y)$ なので、十分大きな番号で $F_n(y)<u$ となる。再び (11.3) から $F_n^{-1}(u)>y$ である。
3. よって $\liminf_nF_n^{-1}(u)\ge y$ である。$F$ の連続点は稠密なので、$y$ をこの点にいくらでも近くとることができる。したがって次を得る。

$$\liminf_nF_n^{-1}(u)\ge x$$

上からの評価：$u<u'<1$ をとる。$y>F^{-1}(u')$ を $F$ の連続点とする。

1. (11.3) から $u'\le F(y)$ である。よって $F(y)>u$ である。
2. 十分大きな番号で $F_n(y)>u$ となる。(11.3) から $F_n^{-1}(u)\le y$ である。
3. よって $\limsup_nF_n^{-1}(u)\le y$ である。$y\downarrow F^{-1}(u')$ として次を得る。

$$\limsup_nF_n^{-1}(u)\le F^{-1}(u')$$ 4. $F^{-1}$ はこの点で連続なので、$u'\downarrow u$ として次となる。

$$\limsup_nF_n^{-1}(u)\le F^{-1}(u)=x$$

$\Rightarrow$：定理 11.16 の表現 $Y_n,Y$ をとる。期待値 $E[g(X_n)]$ は分布だけで決まる（第5章 §5.3 の変数変換公式）。よって

$$E[g(X_n)]=E[g(Y_n)],\qquad E[g(X)]=E[g(Y)]$$

である。$g$ は連続なので、$g(Y_n)\to g(Y)$ a.s. である。さらに $\left\vert g\right\vert \le C$ なので、有界収束定理（第5章 §5.2）から $E[g(Y_n)]\to E[g(Y)]$ である。

$\Leftarrow$：点 $x$ を極限の分布関数の連続点とする。正の数 $\varepsilon$ を1つとる。関数 $g$ を次のように定める。

• $(-\infty,x]$ で 1 とする。
• $[x+\varepsilon ,\infty)$ で 0 とする。
• そのあいだでは直線的に減少させる。

すると $g$ は有界連続で

$$\mathbf 1_{(-\infty,x]}\le g\le\mathbf 1_{(-\infty,x+\varepsilon ]}$$

を満たす。左の不等式から $F_{X_n}(x)\le E[g(X_n)]$ である。右の不等式から $E[g(X)]\le F_X(x+\varepsilon )$ である。よって

$$\limsup_nF_{X_n}(x)\le\lim_nE[g(X_n)]=E[g(X)]\le F_X(x+\varepsilon )$$

である。次に、$g$ を $\varepsilon$ だけ左にずらした関数を使う。これは $(-\infty,x-\varepsilon ]$ で 1、$[x,\infty)$ で 0 となる関数である。同様に次を得る。

$$\liminf_nF_{X_n}(x)\ge F_X(x-\varepsilon )$$

$\varepsilon \downarrow0$ として、この点での連続性から $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$ となる。

(i)：事象 $\{X_n\to X\}\cap\{X\notin D_h\}$ は確率 1 である。その上では $h$ が $X(\omega)$ で連続なので、次が成り立つ。

$$h(X_n(\omega))\to h(X(\omega))$$

(ii)：系 11.9 を使う。任意の部分列 $(X_{n_k})$ について、確率収束から、概収束するさらに部分列 $X_{n_{k_j}}$ がとれる。

(i) から $h(X_{n_{k_j}})\to h(X)$ a.s. である。こうして $h(X_n)$ の任意の部分列が、概収束する部分列を持つ。系 11.9 から $h(X_n)\xrightarrow{P}h(X)$ である。

(iii)：定理 11.16 の表現 $Y_n$、$Y$ をとる。

1. 極限は同分布なので、$P(Y\in D_h)=P(X\in D_h)=0$ である。
2. (i) から $h(Y_n)\to h(Y)$ a.s. である。定理 11.7 (i)(iv) から、次が成り立つ。

$$h(Y_n)\xrightarrow{d}h(Y)$$ 3. 同分布の確率変数を同じ Borel 関数に通すと、同分布になる。よって

$$h(Y_n)\overset{d}{=}h(X_n),\qquad h(Y)\overset{d}{=}h(X)$$

であり、$h(X_n)\xrightarrow{d}h(X)$ を得る。

極限の分布関数 $F=F_X$ は、左の端で 0、右の端で 1 に近づく。また連続点は稠密である。よって、2点 $\pm M_0$ がともに連続点で、次を満たす $M_0$ がとれる。

$$F(-M_0)<\frac{\varepsilon }4,\qquad 1-F(M_0)<\frac{\varepsilon }4$$

$F_{X_n}(\pm M_0)\to F(\pm M_0)$ なので、ある $N$ から先の番号で次が成り立つ。

$$F_{X_n}(-M_0)<\frac{\varepsilon }2,\qquad 1-F_{X_n}(M_0)<\frac{\varepsilon }2$$

よって

$$P(\left\vert X_n\right\vert >M_0)\le F_{X_n}(-M_0)+1-F_{X_n}(M_0)<\varepsilon$$

である。残りの有限個 $X_1,\dots,X_{N-1}$ を考える。各項は実数値なので、$M\to\infty$ で $P(\left\vert X_n\right\vert >M)\to0$ である。よって $M\ge M_0$ を大きくとれば、すべての番号で $P(\left\vert X_n\right\vert >M)<\varepsilon$ となる。

(i)：$\varepsilon ,\eta>0$ を与える。$\sup_nP(\left\vert X_n\right\vert >M)<\eta$ となる $M$ をとる。$\left\vert X_nZ_n\right\vert >\varepsilon$ ならば、次のどちらかが成り立つ。

$$\left\vert X_n\right\vert >M\quad\text{または}\quad\left\vert Z_n\right\vert >\frac{\varepsilon } M$$

よって

$$P(\left\vert X_nZ_n\right\vert >\varepsilon )\le\eta+P(\left\vert Z_n\right\vert >\varepsilon /M)$$

である。番号を大きくすると第2項は 0 に近づく。よって $\limsup_nP(\left\vert X_nZ_n\right\vert >\varepsilon )\le\eta$ であり、$\eta$ は任意である。

(ii)：定理 11.7 (iv) の証明と同じ議論を使う。点 $x$ を $F_X$ の連続点とする。さらに、2点 $x\pm\varepsilon$ も連続点となる $\varepsilon >0$ をとる。

不連続点は高々可算なので、そうした $\varepsilon$ はいくらでも小さくとれる。次の2つが成り立つ。

• $X_n+Z_n\le x$ ならば、次のどちらかである。

$$X_n\le x+\varepsilon \quad\text{または}\quad\left\vert Z_n\right\vert >\varepsilon$$

• $X_n\le x-\varepsilon$ ならば、次のどちらかである。

$$X_n+Z_n\le x\quad\text{または}\quad\left\vert Z_n\right\vert >\varepsilon$$

よって

$$F_{X_n}(x-\varepsilon )-P(\left\vert Z_n\right\vert >\varepsilon )\le P(X_n+Z_n\le x)\le F_{X_n}(x+\varepsilon )+P(\left\vert Z_n\right\vert >\varepsilon )$$

である。$n\to\infty$ として次を得る。

$$F_X(x-\varepsilon )\le\liminf_nP(X_n+Z_n\le x)\le\limsup_nP(X_n+Z_n\le x)\le F_X(x+\varepsilon )$$

あとは $\varepsilon \downarrow0$ とすればよい。

(i)：分布関数は $F_{X_n+c}(x)=F_{X_n}(x-c)$ を満たす。ずらした分布関数の連続点 $x$ は、もとの分布関数の連続点 $x-c$ にちょうど対応する。よって $X_n+c\xrightarrow{d}X+c$ である。さらに次のように分ける。

$$X_n+Y_n=(X_n+c)+(Y_n-c),\qquad Y_n-c\xrightarrow{P}0$$

補題 11.20 (ii) から結論を得る。

(ii)：$Y_nX_n=cX_n+(Y_n-c)X_n$ と分ける。$h(x)=cx$ は連続なので、連続写像定理 (iii) から $cX_n\xrightarrow{d}cX$ である。補題 11.19 から、$X_n$ は確率的に有界である。$Y_n-c\xrightarrow{P}0$ なので、補題 11.20 (i) から次が成り立つ。

$$(Y_n-c)X_n\xrightarrow{P}0$$

補題 11.20 (ii) から $Y_nX_n\xrightarrow{d}cX$ となる。

(iii)：0 でない点では $h(y)=1/y$ とし、$h(0)=0$ と定める。この関数は点 $c\ne0$ で連続である。連続写像定理 (ii) を定数への確率収束に使って、$1/Y_n\xrightarrow{P}1/c$ を得る。(ii) を $1/Y_n$ に使えば、$X_n/Y_n\xrightarrow{d}X/c$ となる。

定理 11.16 の表現 $Y_n\to Y$ a.s. をとり、$W_n=\left\vert Y_n\right\vert ^p$ と置く。

1. 一様可積分である。$W_n\to\left\vert Y\right\vert ^p$ a.s. である。また $E[W_n^{r/p}]=E[\left\vert X_n\right\vert ^r]$ は番号について有界である。$r/p>1$ なので、命題 11.14 (iii) から $\{W_n\}$ は一様可積分である。
2. 前半。Vitali の定理（概収束は確率収束を導く）から、$E\left\vert Y\right\vert ^p<\infty$ かつ $E[W_n]\to E[\left\vert Y\right\vert ^p]$ である。同分布から $E[W_n]=E[\left\vert X_n\right\vert ^p]$、$E[\left\vert Y\right\vert ^p]=E[\left\vert X\right\vert ^p]$ なので、前半を得る。
3. 後半。$Y_n^k\to Y^k$ a.s. である。$\left\vert Y_n^k\right\vert =\left\vert Y_n\right\vert ^k$ は同じ理由で一様可積分である。よって Vitali の定理から $E[Y_n^k]\to E[Y^k]$ となる。