この章のまとめ

確率論入門　第11章 §11.5

この章では、確率変数の列が近づくことに4つの意味を与えた。

• 概収束は、標本点ごとの収束を確率 1 で求める。
• 確率収束は、各時刻で大きくずれる確率が 0 に近づくことだけを求める。
• $L^p$ 収束は、ずれの $p$ 乗の平均が 0 に近づくことを求める。
• 分布収束は値を見ず、極限の分布関数が連続な点で分布関数が収束することだけを求める。連続点に限るのは、跳びの位置がわずかにずれただけの列（$1/n\to0$）を収束と認めるためであった。

概収束を確率の言葉で書き直すと「$\sup_{m\ge n}\left\vert X_m-X\right\vert$ が確率収束する」（補題 11.2）になる。そこから Borel–Cantelli の補題による十分条件 (11.7) が得られた。

4つのあいだには、次の含意がある（定理 11.7）。概収束と $L^p$ 収束はそれぞれ確率収束を導き、確率収束は分布収束を導く。逆向きは一般には成り立たず、移動する山・逃げる質量・独立な2値の列・符号を反転した正規変数が反例になった。概収束と $L^p$ 収束が互いに他を導かないのは、前者が「ずれが起きる回数」で、後者が「ずれの大きさと確率の釣り合い」で決まるからである。

逆向きの部分的な主張は3つあった。確率収束する列は、概収束する部分列を持つ（定理 11.8）。定数への分布収束は、確率収束と同じである。整数値の列では、分布収束と全変動距離の収束が一致する。

確率収束から $L^1$ 収束へ格上げする条件は一様可積分性とちょうど一致する（Vitali の定理 11.15）。一様可積分性は「確率の小さい事象の上での期待値が列全体で一様に小さい」という条件で、可積分な優関数があるときや、$r>1$ 乗のモーメントが有界なときに成り立つ。優収束定理はこの定理の特別な場合になった。

最後に、分布収束を有界連続関数の期待値の収束で言い換えた。その証明には Skorokhod の表現（分位点関数を同じ一様乱数に通すと、分布収束が概収束に変わる）を使った。この表現から、連続写像定理と、モーメントの収束の条件（$r$ 乗のモーメントが有界なら、それより低い次数のモーメントが収束する）が短く導かれた。Slutsky の定理は、分布収束する列に定数へ確率収束する列を足しても掛けても割っても、極限の分布が素直に変わるだけであることを述べる。

次の第12章では、標本平均が期待値に確率収束すること（弱法則）と概収束すること（強法則）を示す。弱法則の証明には第10章の Chebyshev の不等式を使い、強法則の証明には (11.7) の形の Borel–Cantelli の議論を使う。

第13章では、特性関数の各点収束から分布収束を結論する Lévy の連続性定理を示す。それを使って中心極限定理 $\sqrt n(\bar X_n-\mu)/\sigma\xrightarrow{d}\mathrm N(0,1)$ を証明する。

そこでは定理 11.17 の有界連続関数による言い換えを使う。§13.4 のデルタ法は、Slutsky の定理と連続写像定理を組み合わせて導く。例題 11.5 の分散の置き換えは、その最も簡単な使い方である。