中心極限定理

$Y_k=(X_k-\mu)/\sigma$ と置く。$Y_k$ は独立同分布で、

$$E[Y_k]=0,\qquad E[Y_k^2]=1,\qquad Z_n=\frac{Y_1+\cdots+Y_n}{\sqrt n}$$

である。$\psi=\varphi_{Y_1}$ と書くと、(13.2) から

$$\psi(s)=1-\frac{s^2}{2}+s^2\rho(s),\qquad\rho(s)\to0\ (s\to0)$$

と書ける（$s\ne0$ で $\rho(s)=(\psi(s)-1+s^2/2)/s^2$ と定めればよい）。独立和の特性関数は積で、$\varphi_{aY}(t)=\varphi_Y(at)$ である。そこで $t\ne0$ を固定すると

$$\varphi_{Z_n}(t)=\psi\Bigl(\frac{t}{\sqrt n}\Bigr)^n=\Bigl(1+\frac{c_n}{n}\Bigr)^n,\qquad c_n=n\Bigl(\psi\Bigl(\frac{t}{\sqrt n}\Bigr)-1\Bigr)=-\frac{t^2}{2}+t^2\rho\Bigl(\frac{t}{\sqrt n}\Bigr)$$

である。$n\to\infty$ で $t/\sqrt n\to0$ なので、次が成り立つ。

$$c_n\to-\frac{t^2}2$$補題 13.9 から $\varphi_{Z_n}(t)\to\mathrm{e}^{-t^2/2}$ を得る。$t=0$ では両辺が 1 である。

$\mathrm{e}^{-t^2/2}$ は $\mathrm N(0,1)$ の特性関数（第8章）である。定理 13.7 (ii) から $Z_n\xrightarrow{d}\mathrm N(0,1)$ である。$\Phi$ はいたるところ連続なので、分布関数の収束はすべての $x$ で成り立つ。

$t$ を固定し、次のように書く。

$$\varphi_{n,k}=\varphi_{X_{n,k}},\qquad a_{n,k}=\frac{t^2\sigma_{n,k}^2}{2}.$$

第1段（個々の分散は小さい）。$\varepsilon >0$ について

$$\sigma_{n,k}^2=E\bigl[X_{n,k}^2\mathbf 1_{\{\left\vert X_{n,k}\right\vert \le\varepsilon \}}\bigr]+E\bigl[X_{n,k}^2\mathbf 1_{\{\left\vert X_{n,k}\right\vert >\varepsilon \}}\bigr]\le\varepsilon ^2+L_n(\varepsilon )$$

なので、$\limsup_n\max_k\sigma_{n,k}^2\le\varepsilon ^2$ である。$\varepsilon$ は任意だから $\max_k\sigma_{n,k}^2\to0$ である。したがって十分大きな $n$ で $\max_ka_{n,k}\le1$ となる。以下この $n$ を考える。

第2段（特性関数の2次近似）。(13.3) で $x=tX_{n,k}$ とし、期待値をとる。$E[X_{n,k}]=0$ なので

$$\bigl|\varphi_{n,k}(t)-(1-a_{n,k})\bigr|\le E\Bigl[\min\Bigl(\frac{\left\vert tX_{n,k}\right\vert ^3}{6},\,t^2X_{n,k}^2\Bigr)\Bigr] \le\frac{\varepsilon \left\vert t\right\vert ^3}{6}\sigma_{n,k}^2+t^2E\bigl[X_{n,k}^2\mathbf 1_{\{\left\vert X_{n,k}\right\vert >\varepsilon \}}\bigr]$$

である。ここで使ったのは次の2つである。

• $\left\vert X_{n,k}\right\vert \le\varepsilon$ の上では $\left\vert tX_{n,k}\right\vert ^3\le\varepsilon \left\vert t\right\vert ^3X_{n,k}^2$ である。
• $\left\vert X_{n,k}\right\vert >\varepsilon$ の上では $\min$ の第2項で抑える。

$\left\vert \varphi_{n,k}\right\vert \le1$ と $\left\vert 1-a_{n,k}\right\vert \le1$ が成り立つ。補題 13.8 を $\theta=1$ で使うと

$$\Bigl|\prod_k\varphi_{n,k}(t)-\prod_k(1-a_{n,k})\Bigr|\le\frac{\varepsilon \left\vert t\right\vert ^3}{6}+t^2L_n(\varepsilon )$$

である。

第3段（指数関数への置き換え）。$0\le a\le1$ では

$$0\le\mathrm{e}^{-a}-(1-a)\le\frac{a^2}{2}$$

が成り立つ（$\mathrm{e}^{-a}$ の Taylor 展開は交代級数で、項の絶対値が減少する）。再び補題 13.8 から

$$\Bigl|\prod_k(1-a_{n,k})-\prod_k\mathrm{e}^{-a_{n,k}}\Bigr|\le\sum_k\frac{a_{n,k}^2}{2}\le\frac12\max_ka_{n,k}\sum_ka_{n,k}=\frac{t^2}{4}\max_ka_{n,k}\to0$$

である。$\prod_k\mathrm{e}^{-a_{n,k}}=\exp(-\frac{t^2}{2}\sum_k\sigma_{n,k}^2)=\mathrm{e}^{-t^2/2}$ なので、第2段と合わせて

$$\limsup_n\bigl|\varphi_{S_n}(t)-\mathrm{e}^{-t^2/2}\bigr|\le\frac{\varepsilon \left\vert t\right\vert ^3}{6}$$

を得る。$\varepsilon$ は任意なので $\varphi_{S_n}(t)\to\mathrm{e}^{-t^2/2}$ であり、定理 13.7 から結論を得る。

$Y=X_k-\mu_k$ と書く。$\left\vert Y\right\vert >\varepsilon s_n$ の上では $(\left\vert Y\right\vert /(\varepsilon s_n))^\delta>1$ なので、

$$Y^2\le\frac{\left\vert Y\right\vert ^{2+\delta}}{(\varepsilon s_n)^\delta}$$

である。したがって (13.10) の左辺は

$$\varepsilon ^{-\delta}s_n^{-(2+\delta)}\sum_kE\left\vert X_k-\mu_k\right\vert ^{2+\delta}$$

以下で、0 に収束する。