Poisson 過程の性質

$n$ を固定し、$(S_1,\dots,S_n)$ の同時密度を求める。時刻 $0<t_1<t_2<\cdots<t_n$ と、小さな幅 $h_k>0$ をとる。区間を $I_k=(t_k,t_k+h_k]$ と置き、これらが互いに重ならないようにする（$t_k+h_k<t_{k+1}$）。事象 $E=\{S_1\in I_1,\dots,S_n\in I_n\}$ は、次の条件が全部成り立つ事象に等しい。

1. (a) $I_1,\dots,I_{n-1}$ にちょうど1回ずつ到着がある。
2. (b) 次の区間には到着が無い。

$$(0,t_1],\qquad(t_k+h_k,t_{k+1}]\quad(k=1,\dots,n-1)$$ 3. (c) $I_n$ に1回以上の到着がある。

実際、(a)(b)(c) が成り立つとする。最後の区間より前の到着はちょうど $n-1$ 回である。各回の到着は、それぞれ対応する区間 $I_k$ にある。逆に $E$ が起きれば、到着時刻の並びから (a)(b)(c) が出る。

これらの区間は互いに重ならないので、(P2)(P3) から確率は各区間の Poisson 確率の積になる。

$$\begin{aligned}P(E)&=\mathrm{e}^{-\lambda t_1}\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(\lambda h_k\mathrm{e}^{-\lambda h_k}\cdot\mathrm{e}^{-\lambda(t_{k+1}-t_k-h_k)}\Bigr)\cdot\bigl(1-\mathrm{e}^{-\lambda h_n}\bigr)\\ &=\lambda^{n-1}h_1\cdots h_{n-1}\,\mathrm{e}^{-\lambda t_n}\bigl(1-\mathrm{e}^{-\lambda h_n}\bigr).\end{aligned}$$

2行目では、指数の肩の時間の長さを合計すると $t_n$ になることを使った。両辺を $h_1\cdots h_n$ で割り、すべての幅を 0 に近づける。$(1-\mathrm{e}^{-\lambda h_n})/h_n\to\lambda$ なので、

$$f_{(S_1,\dots,S_n)}(t_1,\dots,t_n)=\lambda^n\mathrm{e}^{-\lambda t_n}\qquad(0<t_1<\cdots<t_n)\tag{14.9}$$

を得る（それ以外の点では 0）。この関数が実際に同時密度であることは、第2章 §2.3 の一意性で確かめられる。直方体の確率がその積分に一致し、直方体の全体が $\mathcal B(\mathbb{R}^n)$ を生成する π系だからである。

次に $\tau_k=S_k-S_{k-1}$ への変数変換を行う。

$$(t_1,\dots,t_n)\mapsto(u_1,\dots,u_n)=(t_1,t_2-t_1,\dots,t_n-t_{n-1})$$

は1次変換で、行列は対角成分が 1 の下三角である。したがってヤコビアンは 1 である。最後の時刻は $t_n=u_1+\cdots+u_n$ と書ける。条件 $0<t_1<\cdots<t_n$ は、すべての $u_k$ が正であることになる。第7章 §7.2 の多変数の変数変換から

$$f_{(\tau_1,\dots,\tau_n)}(u_1,\dots,u_n)=\lambda^n\mathrm{e}^{-\lambda(u_1+\cdots+u_n)}=\prod_{k=1}^n\lambda\mathrm{e}^{-\lambda u_k}\qquad(u_k>0)$$

となる。密度が積に分かれるので、第4章 §4.3 により $\tau_1,\dots,\tau_n$ は独立で、各々 $\mathrm{Ex}(\lambda)$ に従う。$n$ は任意だから列全体が独立である。$S_n=\tau_1+\cdots+\tau_n$ は独立な指数分布の和なので、第7章 §7.3 から $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ に従う。

条件の事象は次のように書ける。

$$\{N_t=n\}=\{S_n\le t<S_{n+1}\}=\{S_n\le t,\ \tau_{n+1}>t-S_n\}$$

集合 $\{0<s_1<\cdots<s_n<t\}$ に含まれる Borel 集合 $B$ をとる。$(S_1,\dots,S_n)$ と $\tau_{n+1}$ は独立なので（定理 14.16）

$$\begin{aligned}P\bigl((S_1,\dots,S_n)\in B,\ N_t=n\bigr)&=\int_B\lambda^n\mathrm{e}^{-\lambda s_n}\,P(\tau_{n+1}>t-s_n)\,\mathrm{d} s\\ &=\int_B\lambda^n\mathrm{e}^{-\lambda s_n}\mathrm{e}^{-\lambda(t-s_n)}\,\mathrm{d} s=\lambda^n\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{Leb}(B).\end{aligned}$$

これを $P(N_t=n)=\mathrm{e}^{-\lambda t}(\lambda t)^n/n!$ で割ると、条件つき確率は $\mathrm{Leb}(B)\,n!/t^n$ になる。

一方、独立な $U_1,\dots,U_n\sim\mathrm U(0,t)$ を小さい順に並べたものを考える。それが $B$ に入る確率は、並び順の1つあたり $\mathrm{Leb}(B)/t^n$ である。並び順は $n!$ 通りある。

同じ値をとる2点が現れる確率は 0 なので、並び順ごとの事象は確率 0 の部分を除いて互いに排反である。合計は $n!\,\mathrm{Leb}(B)/t^n$ になり、2つは一致する。

(P1) は、2つの過程が $N$ の跳びの一部だけを拾った階段関数であることから成り立つ。時刻 $0=t_0<t_1<\cdots<t_m$ をとる。区間 $(t_{l-1},t_l]$ の種類ごとの増分を次のように書く。

$$A_l=N^{(1)}_{t_l}-N^{(1)}_{t_{l-1}},\qquad C_l=N^{(2)}_{t_l}-N^{(2)}_{t_{l-1}}$$

非負整数 $a_l,c_l$ について、$n_l=a_l+c_l$ と置いて

$$P\bigl(A_l=a_l,\ C_l=c_l\ (l=1,\dots,m)\bigr)=\prod_{l=1}^m\mathrm{e}^{-\lambda p h_l}\frac{(\lambda ph_l)^{a_l}}{a_l!}\cdot\mathrm{e}^{-\lambda(1-p)h_l}\frac{(\lambda(1-p)h_l)^{c_l}}{c_l!}\qquad(h_l=t_l-t_{l-1})$$

を示せばよい。右辺が積に分かれていることから、$2m$ 個の増分がすべて独立で、それぞれが主張の Poisson 分布に従うことが出る。

左辺の事象は、次の2つが各区間 $l=1,\dots,m$ で成り立つ事象と書ける。

• 各区間での $N$ の増分が $n_l$ に等しい。
• 区間 $l$ に入る到着の印のうち、1 がちょうど $a_l$ 個ある。

区間 $l$ に入る到着の番号は、次の範囲に決まる。

$$n_1+\cdots+n_{l-1}+1,\ \dots,\ n_1+\cdots+n_l$$

したがって印の条件は、重ならない番号の組の印についての条件である。印の列は $N$ と独立である。したがって

$$\text{左辺}=\prod_{l=1}^m\Bigl(\mathrm{e}^{-\lambda h_l}\frac{(\lambda h_l)^{n_l}}{n_l!}\cdot\binom{n_l}{a_l}p^{a_l}(1-p)^{c_l}\Bigr).$$

次の3つを代入すると右辺に一致する。

$$\frac{\binom{n_l}{a_l}}{n_l!}=\frac1{a_l!\,c_l!},\qquad(\lambda h_l)^{n_l}=(\lambda h_l)^{a_l}(\lambda h_l)^{c_l},\qquad\mathrm{e}^{-\lambda h_l}=\mathrm{e}^{-\lambda ph_l}\mathrm{e}^{-\lambda(1-p)h_l}$$

$m=1$ の場合は、第7章 §7.4 の「Poisson 個の Bernoulli 試行の成功数と失敗数は独立な Poisson 分布に従う」そのものである。

$N$ の増分は次のように書ける。

$$N_t-N_s=(N^{(1)}_t-N^{(1)}_s)+(N^{(2)}_t-N^{(2)}_s)$$

右辺は独立な $\mathrm{Po}(\lambda_1(t-s))$ と $\mathrm{Po}(\lambda_2(t-s))$ の和である。第7章 §7.3 の再生性から、$\mathrm{Po}((\lambda_1+\lambda_2)(t-s))$ に従う。重ならない区間の増分は、2つの独立な独立増分過程の増分の組なので独立である（第4章 §4.2 のまとめ方の補題）。これで (P2)(P3) が成り立つ。

印についての主張は、間引きの定理 14.18 を逆向きに使って示す。強度 $\lambda_1+\lambda_2$ の Poisson 過程 $\tilde N$ を、次の確率の印で間引く。

$$p=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$$すると独立な Poisson 過程の組 $(\tilde N^{(1)},\tilde N^{(2)})$ が得られ、強度は $\lambda_1,\lambda_2$ である。

有限次元分布が一致するので、組 $(\tilde N^{(1)},\tilde N^{(2)})$ と組 $(N^{(1)},N^{(2)})$ は同じ法則を持つ。到着時刻の列と印の列は、どちらの組からも同じ規則で読み取れる量なので、同じ同時分布を持つ。間引いて作った側では、印は作り方から到着時刻と独立な独立同分布で、種類 1 の確率は $p$ である。