絶対活動度の展開

統計熱力学入門　第6章 §6.2　★★ 級数反転で $z\simeq\dfrac{N}{V}\lambda_T^{3}(1\pm2^{-3/2}\dfrac{N}{V}\lambda_T^{3})$。逐次代入の定石。

前節の結果より $\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon-\mu)}=z\,\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon}$ は十分小さいから、分布関数を$z$ について展開できる：

$$f_{\mathrm{F/B}}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon-\mu)}}{1\pm\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon-\mu)}} \simeq \mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon-\mu)}\big(1\mp\mathrm{e}^{-\beta(\varepsilon-\mu)}\big).$$

これを式(6.2)に代入して積分すると、第1項が古典項、第2項が量子補正となり、式(6.4)の 2 次までの表式

$$\dfrac{N}{V}\lambda_T^{3}=z\mp\frac{z^2}{2^{3/2}}\tag{6.7}$$

を再現する（第2項の $2^{-3/2}$ は $\int_0^\infty\varepsilon^{1/2}\mathrm{e}^{-2\beta\varepsilon}\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon$ が1 粒子項の $2^{-3/2}$ 倍になることから来る）。