Fermi エネルギー

統計熱力学入門　第7章 §7.1　★★★ $\varepsilon_{\mathrm{F}}=\tfrac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2N/V)^{2/3}$、$D(\varepsilon_{\mathrm{F}})=3N/2\varepsilon_{\mathrm{F}}$。以降の全計算の基礎。

体積 $V$ の立方体中の、スピン $1/2$ の自由粒子 $N$ 個からなる理想 Fermi 気体を考える。スピンの内部自由度により $g=2$、すなわち状態密度は

$$D(\varepsilon)=\frac{\sqrt2\,m^{3/2}V}{\pi^2\hbar^3}\,\varepsilon^{1/2}\tag{7.1}$$

である。前章とは逆に、ここでは絶対零度近傍という強く縮退した領域を扱う。$z\to\infty$（$\mu>0$）で、多重対数展開は使えず、Fermi 面の存在に基づく別の近似（Sommerfeld 展開）が主役になる。

絶対零度では、分布関数は階段関数 $f_{\mathrm F}(\varepsilon)\to\theta(\mu-\varepsilon)$ となり、エネルギーの低い準位から順に $\mu=\varepsilon_{\mathrm{F}}$ まで詰まる。この最高被占準位のエネルギーが Fermiエネルギー $\varepsilon_{\mathrm{F}}$ である。粒子数条件は

$$N=\int_0^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}D(\varepsilon)\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon =\frac{\sqrt2\,m^{3/2}V}{\pi^2\hbar^3}\cdot\frac{2}{3}\,\varepsilon_{\mathrm{F}}^{3/2} =\frac{2\sqrt2\,m^{3/2}V}{3\pi^2\hbar^3}\,\varepsilon_{\mathrm{F}}^{3/2}.$$

これを $\varepsilon_{\mathrm{F}}$ について解くと、

$\varepsilon_{\mathrm{F}}$ は密度 $N/V$ のみで決まり、温度を含まない純粋に量子的（Pauli 排他律的）な量である。以降で頻用する関係として、$\int_0^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}D\,\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon=\tfrac23\varepsilon_{\mathrm{F}} D(\varepsilon_{\mathrm{F}})=N$ から

$$D(\varepsilon_{\mathrm{F}})=\frac{3N}{2\varepsilon_{\mathrm{F}}}\tag{7.4}$$

が成り立つ。これは「Fermi 面での状態密度が全粒子数と $\varepsilon_{\mathrm{F}}$ で書ける」という便利な等式である。