基底状態エネルギーと圧力

統計熱力学入門　第7章 §7.2　★★★ $E_0=\tfrac35N\varepsilon_{\mathrm{F}}$、$P=\tfrac25(N/V)\varepsilon_{\mathrm{F}}$（縮退圧）。$T=0$ で圧力が残る要点。

絶対零度の全エネルギーは

$$E_0=\int_0^{\varepsilon_{\mathrm{F}}}\varepsilon\,D(\varepsilon)\mathop{}\!\mathrm{d}\varepsilon =\frac{\sqrt2\,m^{3/2}V}{\pi^2\hbar^3}\cdot\frac{2}{5}\,\varepsilon_{\mathrm{F}}^{5/2}.$$

$N$ の表式と比べると $2/5$ と $2/3$ の比で

圧力は基礎の $PV=\tfrac23E$（3 次元・$\varepsilon\propto k^2$）を使った。同じ結果は、$\varepsilon_{\mathrm{F}}\propto V^{-2/3}$より $E_0\propto N^{5/3}V^{-2/3}$ であることから、圧力の定義 $P=-\partial E_0/\partial V=\tfrac23E_0/V$（$T=0$ では $S=0$ ゆえ $F=E_0$）で直接出しても得られる。両者が一致するのは、どちらも $E\propto V^{-2/3}$ という3 次元自由粒子の一点に由来するためである。

絶対零度でも $P\neq0$ である点が古典気体と決定的に異なる。これは縮退圧と呼ばれ、Pauli 排他律により粒子が高い運動量準位まで押し上げられることに由来する（白色矮星や中性子星を支えるのも同じ機構）。なお $T=0$ でも $V$ と $N$ は独立な変数である。示強量（$\varepsilon_{\mathrm{F}},P$）は比 $n=N/V$ だけで決まるが、示量量（$E_0\propto N^{5/3}V^{-2/3}$ など）は $N$ と $V$ に別々に依存する。縮退圧があっても $V$ が勝手に定まらないのは古典気体と同じで、容器の壁（外圧・重力）が押し返して初めて $V$ が決まる――星ではその拘束が重力で、白色矮星の半径は縮退圧と重力の釣り合いで決まる。