ナトリウムの Fermi 温度

統計熱力学入門　第7章 §7.5　★★ $T_{\mathrm F}\sim3.8\times10^4$K。室温が「極低温」である数値実感。単位換算の練習。

Na は常温・常圧で格子定数 $a=4.23\,\text{\AA}$ の体心立方（bcc）構造をとる。bcc の単位胞には原子が 2 個あり、各 Na 原子が自由電子を 1 個供給するので、伝導電子の数密度は

$$\frac{N}{V}=\frac{2}{a^3}=\frac{2}{(4.23\times10^{-10}\,\mathrm m)^3} \simeq2.64\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.$$

これを前に求めた Fermi エネルギー $\varepsilon_{\mathrm{F}}$ の式に代入する。$\hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$、$m=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$、$k_{\mathrm{B}}=1.381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ を用いると

$$\varepsilon_{\mathrm{F}}=\frac{\hbar^2}{2m}\!\left(3\pi^2\frac{N}{V}\right)^{2/3} \simeq5.18\times10^{-19}\,\mathrm J\simeq3.24\,\mathrm{eV}.$$

Fermi 温度の定義と意味。$\varepsilon_{\mathrm{F}}$ をエネルギーではなく温度の単位で測り直したものが Fermi 温度 $T_{\mathrm F}\equiv\varepsilon_{\mathrm{F}}/ k_{\mathrm{B}}$ である（$k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm F}=\varepsilon_{\mathrm{F}}$）。これは「熱エネルギー $k_{\mathrm{B}} T$ が Fermi エネルギーに肩を並べる温度」で、気体が量子的か古典的かの境目を与える。$T\ll T_{\mathrm F}$ なら熱ゆらぎ $k_{\mathrm{B}} T$ は Fermi 海の深さ $\varepsilon_{\mathrm{F}}$ より小さく、海はほとんど乱されない（強く縮退した量子的状態）。逆に $T\gg T_{\mathrm F}$ なら熱エネルギーが勝って古典（Maxwell–Boltzmann）気体になる。比 $T/T_{\mathrm F}$ が「どれだけ量子的か」の目安で、熱的に励起される電子の割合もこの $\sim T/T_{\mathrm F}$ である。数値は

この数の気持ち。$T_{\mathrm F}\sim4\times10^4\,\mathrm K$ は室温 $300\,\mathrm K$ の 100 倍以上、金属の融点よりもはるかに高い。つまり金属中の伝導電子は、室温でも $T/T_{\mathrm F}\sim10^{-2}$ しかなく、常温がすでに「極低温」なのである。だから「$T\to0$ の Fermi 気体」という一見理想化された描像（Fermi 面・$C\propto T$・Pauli常磁性）が、現実の金属に室温でそのまま当てはまる。$T_{\mathrm F}$ を計算する意味は、この「抽象的な低温極限が身のまわりの金属で実際に効いている」ことを数値で確かめる点にある。電子比熱が古典値 $\tfrac32N k_{\mathrm{B}}$より $\sim T/T_{\mathrm F}$ だけ小さいのも、Pauli 常磁性が温度に鈍いのも、すべてこの大きな $T_{\mathrm F}$ の帰結である。