化学ポテンシャルの式と臨界温度

統計熱力学入門　第9章 §9.2　★★★ $\rho\lambda_T^3\le\zeta(3/2)$ で解が消失＝$T_c$。臨界温度の導出は Bose 凝縮の核心。

粒子数期待値が $N$ に等しいという条件は、前節の結果から

$$N=\frac{V}{\lambda_T^3}F_{1/2}(-\beta\mu) \quad\Longleftrightarrow\quad \rho\,\lambda_T^3=F_{1/2}(-\beta\mu)\tag{9.3}$$

となる。これが $\mu$ を決める方程式である。左辺 $\rho\lambda_T^3\propto T^{-3/2}$ は温度を下げると増える一方、右辺は $\mu\le0$ の範囲で最大 $\zeta(3/2)$ までしかとれない。したがって

$$\rho\,\lambda_T^3\le\zeta(3/2)$$

のときにのみ $\mu<0$ の解が存在する。等号に達する温度が臨界温度 $T_c$（逆温度 $\beta_c$）で、$\rho\,\lambda_T^3\big|_{T=T_c}=\zeta(3/2)$ から $\lambda_T^3=h^3\beta^{3/2}/(2\pi m)^{3/2}$ を使って

$\beta>\beta_c$（$T<T_c$）では式(9.3)を満たす $\mu<0$ が存在しなくなる。これは物理が破綻したのではなく、積分近似が破綻したことを意味する。次節でそれを修正する。