観測量はエルミート演算子

量子力学入門　第1部 第1章 §1.1.3　★★ 観測量＝エルミート演算子・実固有値。

公理2（観測量）：物理量（観測量）はエルミート演算子 $\hat A=\hat A^\dagger$ で表される。

エルミート性から二つの重要な性質が従う：(i) 固有値はすべて実数（測定値は実数であるべきだから当然の要請）、(ii) 異なる固有値に属する固有状態は直交する。証明は一行ずつ：$\hat A| a \rangle =a| a \rangle$ に $\langle a |$ を掛けると $a=\langle a | A | a \rangle =\langle a | A | a \rangle ^*=a^*$ で実数。$\hat A| a' \rangle =a'| a' \rangle$（$a\neq a'$）に対し $\langle a | A | a' \rangle$ を左右どちらに作用させるかで二通りに評価すると $a\langle a | a' \rangle =a'\langle a | a' \rangle$、ゆえに $\langle a | a' \rangle =0$。したがって固有状態の全体 $\{| a \rangle \}$ は正規直交基底に選べる（固有基底）。