直交規格化と完全性をもう少し詳しく

量子力学入門　第1部 第1章 §1.1.2　★ 完全性関係の使い所

上で何気なく使った直交規格化と完全性は、量子力学全体で最も多用する道具なので、ふつうの3次元ベクトルとの類推で意味を固めておく。

3次元ベクトルの類推。

直交する単位ベクトル $\hat{\bm{e}}_1,\hat{\bm{e}}_2,\hat{\bm{e}}_3$ は二つの性質をもつ：

$$\underbrace{\hat{\bm{e}}_i\cdot\hat{\bm{e}}_j=\delta_{ij}}_{\text{直交規格性}},\qquad \underbrace{\sum_i\hat{\bm{e}}_i\hat{\bm{e}}_i^{\mathsf T}=I}_{\text{完全性}}.$$

役割は異なる。直交規格性は「成分をきれいに取り出すための性質」——$\bm{v}=\sum_i(\hat{\bm{e}}_i\cdot\bm{v})\hat{\bm{e}}_i$ のように $\hat{\bm{e}}_i\cdot\bm{v}$ がそのまま $i$ 成分になる。完全性は「基底で空間全体を覆えている（取りこぼしがない）保証」である。もし $\hat{\bm{e}}_1,\hat{\bm{e}}_2$ しか使わなければ $\sum$ は $xy$ 平面への射影であって単位行列ではなく、$z$ 成分を取りこぼす。完全性とは「射影が空間全体に及んで $I$ になる」主張にほかならない。

離散基底への翻訳。

内積を $\cdot\to\langle \ | \ \rangle$ に置き換えるだけで、エネルギー固有状態のような離散基底 $\{| n \rangle \}$ にそのまま移る：

$$\underbrace{\langle m | n \rangle =\delta_{mn}}_{\text{直交規格性}},\qquad \underbrace{\sum_n| n \rangle \langle n |=\hat 1}_{\text{完全性}}.$$

完全性の式は恒等演算子の分解（resolution of identity）と呼ばれ、「どんな式の途中にも $\hat 1$ を挿し込める」という形で使う：

$$| \psi \rangle =\hat 1| \psi \rangle =\sum_n| n \rangle \langle n | \psi \rangle =\sum_n c_n| n \rangle ,\qquad c_n=\langle n | \psi \rangle .$$

直交規格性のおかげで成分 $c_n=\langle n | \psi \rangle$ が一発で取り出せている（3次元の $\hat{\bm{e}}_i\cdot\bm{v}$ と同型）。

連続基底（位置基底）への拡張。

位置 $| x \rangle$ は「ラベル $x$ が連続」という点だけが違う。和は積分に、Kronecker デルタは Dirac デルタに置き換わる：$\sum_n\to\int\mathrm{d} x,\ \delta_{mn}\to\delta(x-x')$。なぜ $\langle x | x' \rangle =\delta(x-x')$ であって $\langle x | x \rangle =1$ でないのか——空間を幅 $\Delta x$ のマス目に区切り $\Delta x\to0$ とすると、1点に押し込められた状態を規格化するには $\langle x | x \rangle \sim 1/\Delta x\to\infty$ と発散させねばならない。この「無限に尖ったスパイク」がまさに $\delta$ 関数である。位置の固有状態は完全に1点に局在した非物理的な状態なので、ふつうの意味では規格化できず、$\delta$ 関数で「規格化」するのが精一杯なのだ。$\delta$ 関数は離散の $\delta_{mn}$ がもっていた成分抽出の働きを引き継ぐ：$\int\mathrm{d} x'\,\delta(x-x')f(x')=f(x)$。

波動関数と内積の積分形が出てくる。

完全性 $\int\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |=\hat 1$ を使えば、抽象ケットが位置基底成分 $\psi(x)=\langle x | \psi \rangle$ を係数とする重ね合わせとして書け、内積の真ん中に $\hat 1$ を挿し込むだけで積分形が出る：

$$| \psi \rangle =\int\mathrm{d} x\,\psi(x)| x \rangle ,\qquad \langle \phi | \psi \rangle =\langle \phi |\hat 1| \psi \rangle =\int\mathrm{d} x\,\phi^*(x)\psi(x).$$

整合性も確認できる：$\langle x | \psi \rangle =\langle x |\!\int\mathrm{d} x'| x' \rangle \langle x' | \psi \rangle =\int\mathrm{d} x'\,\delta(x-x')\psi(x')=\psi(x)$。

$x$ は成分の番号である。

波動関数の値 $\psi(x)$ は複素数1つで、それ自体はベクトルではない。ベクトルにあたるのは関数 $\psi$ の全体で、$x$ は成分の番号（添字）の役をする。有限次元のベクトルと並べると、次のように対応する。

$$v_i\ (i=1,\dots,N)\ \longleftrightarrow\ \psi(x)\ (x\in\mathbb R),\qquad \sum_iu_i^*v_i\ \longleftrightarrow\ \int\phi^*(x)\psi(x)\,\mathrm{d} x.$$

ここで2つの空間を区別しておく。粒子が動く物理空間 $\mathbb R^3$ の点 $\bm{r}$ は、Hilbert 空間の中では成分の番号にすぎない。状態ベクトルが属するのは関数の空間 $L^2$ で、その次元は無限である。物理空間が3次元であることと、Hilbert 空間の次元とは関係がない。

番号が連続であることは、格子に区切ると見えやすい。区間を間隔 $\Delta x$ の $N$ 個の点に区切り、各点での値を並べる。

$$x_j=j\Delta x,\qquad \psi_j=\psi(x_j)\qquad(j=1,\dots,N)$$

すると状態は $\mathbb C^N$ のベクトルになり、次の3つが成り立つ。

1. 内積は和の極限。格子の上の内積は $\Delta x$ の重みを付けた和で、間隔を0にすると積分になる。

$$\langle \phi | \psi \rangle \simeq\sum_j\phi_j^*\psi_j\,\Delta x\ \xrightarrow{\ \Delta x\to0\ }\ \int\phi^*(x)\psi(x)\,\mathrm{d} x .$$ 2. 微分演算子は行列。2階微分を中心差分で書くと、対角に $-2/\Delta x^2$、その両隣に $1/\Delta x^2$ が並ぶ正方行列になる。

$$\psi''(x_j)\simeq\frac{\psi_{j+1}-2\psi_j+\psi_{j-1}}{\Delta x^2}.$$

ハミルトニアン $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+V(x)$ は、この行列に対角行列 $\operatorname{diag}(V(x_j))$ を足した実対称行列になる。3. 固有値問題は行列の対角化。Schrödinger 方程式を数値で解くときは、この行列を対角化している。$N\to\infty$ の極限が微分方程式の固有値問題である。

番号 $x$ は実数の全体を動き、数え上げることのできない（非可算の）集合である。それでも $L^2$ は数え上げられる正規直交基底（調和振動子の固有関数）を持ち、$\{| x \rangle \}$ のほうは正規直交基底ではない。この違いと δ 規格化の正体は、虎の巻『量子力学の様々な構成方法』第1部第3章で扱う。

演算子は行列、固有関数は固有ベクトル。

正規直交な関数の組 $\{u_k\}$ を基底に取ると、関数と演算子は数の並びに直る。展開係数と行列要素は

$$\psi=\sum_kc_ku_k,\quad c_k=\int u_k^*\psi\,\mathrm{d} x,\qquad A_{jk}=\int u_j^*\,\hat Au_k\,\mathrm{d} x$$

である。固有値方程式 $\hat A\psi=a\psi$ に左から $u_j^*$ を掛けて積分すると、展開の各項に行列要素が現れ、

$$\hat A\psi=a\psi\quad\Longleftrightarrow\quad\sum_kA_{jk}c_k=a\,c_j\qquad(\text{すべての }j)$$

になる。固有関数は行列 $A$ の固有ベクトル $(c_k)$ に対応し、固有値は行列の固有値と同じである。対応をまとめると次のとおり。

• エルミート演算子とエルミート行列：$\hat A$ がエルミートなら $A_{jk}=A_{kj}^*$ が成り立つ（次節）。
• 基底の取り替えと相似変換：別の正規直交基底へ移ると、行列はユニタリ行列 $U$ で $A'=U^\dagger AU$ に変わる。固有値は変わらない。
• 調和振動子の例：エネルギー固有関数を基底にすると、ハミルトニアンは対角行列 $\hbar\omega(n+\tfrac12)\delta_{mn}$ になる。位置 $\hat x$ は対角の両隣に $\sqrt n$ に比例する成分が並ぶ行列になる（§1.4）。

位置の基底 $\{| x \rangle \}$ 自身もこの形に入る。運動量の行列要素は $\langle x | \hat p | x' \rangle =-\mathrm{i}\hbar\,\delta'(x-x')$ で、位置と運動量の基底の取り替えの行列は $\langle x | p \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$ である。導出は 虎の巻『量子力学の様々な構成方法』第1部第3章にある。

1点の値と、関数全体がもつ情報。

1点の値 $\psi(x_0)=\langle x_0 | \psi \rangle$ は、状態ベクトルを $| x_0 \rangle$ へ射影した成分1つである。この1つだけで状態が決まらないのは、3次元のベクトルの $x$ 成分だけで $\bm{v}$ が決まらないのと同じである。情報について、次の4つが成り立つ。

1. 成分をすべてそろえれば失われない。完全性 $\int\mathrm{d} x\,| x \rangle \langle x |=\hat1$ によって、全成分から状態ベクトル $| \psi \rangle$ が元に戻る。3次元で成分3つから $\bm{v}$ が戻るのと同じである。
2. Fourier 変換は基底の取り替え。位置の基底から運動量の基底への取り替えで、逆変換があるので可逆である。$\psi(x)$ と $\tilde\psi(p)$ は同じ情報を持つ。
3. 基底が不完全なら情報が欠ける。スピンを持つ電子では位置の基底だけでは完全でなく、2成分 $(\psi_\uparrow(x),\psi_\downarrow(x))$ が要る（§1.6）。
4. 全体の位相は情報でない。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}\psi$ は成分すべてに同じ数を掛けるだけで、どの確率も変えない（公理1）。

関数が直交するとは。

2つの関数 $f,g$ が直交するとは、$\int f^*g\,\mathrm{d} x=0$ のことである。これは有限次元の $\sum_iu_i^*v_i=0$ の和を積分にした極限で、意味も同じである。

内積が0なら一方への射影が0で、ピタゴラスの定理 $\lVert f+g\rVert^2=\lVert f\rVert^2+\lVert g\rVert^2$ が成り立つ（$\lVert f\rVert^2=\int|f|^2\mathrm{d} x$）。量子力学では、直交は遷移振幅 $\langle f | g \rangle$ が0であることを意味する。状態 $g$ を準備して「状態 $f$ か」を測ると、「はい」は決して出ない。

関数が直交する仕組みは、主に次の3つである。

1. 台が重ならない。2つの関数が0でない範囲が離れていれば、積 $f^*g$ がどこでも0になる。区間ごとの箱関数がこの例である。
2. 符号が打ち消す。積 $\sin x\,\sin 2x$ を区間 $[0,\pi]$ で積分する。2つの関数は同じ所で0でないが、積が正の所と負の所の積分が打ち消して、全体は0になる。周期境界の平面波 $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} nx/L}$ もこの仕組みで直交する。
3. エルミート演算子の異なる固有値。$\hat H\varphi_n=E_n\varphi_n$ のとき、同じ積分を2通りに計算する。右の固有関数に $\hat H$ を作用させると $E_n$ が出る。エルミート性で左へ移すと $E_m$ が出る。

$$\int\varphi_m^*\,\hat H\varphi_n\,\mathrm{d} x=E_n\int\varphi_m^*\varphi_n\,\mathrm{d} x=E_m\int\varphi_m^*\varphi_n\,\mathrm{d} x .$$

$E_m\neq E_n$ なら積分は0である（次節の証明を関数で書いたもの）。調和振動子の固有関数の直交はこれによる。