構成と描像は別の軸

量子力学の様々な構成方法　第1部 第1章 §1.1.4　★★ Schrödinger・Heisenberg・相互作用の描像は、1つの構成の中で時間依存をどこに置くかの選択で、構成の選択とは独立

描像とは何か

「Heisenberg の行列力学」と「Heisenberg 描像」、「Schrödinger の波動力学」と「Schrödinger 描像」は名前が似ているので、構成と描像は混同されやすい。描像は、基準の構成の中で、時間発展の演算子 $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ を状態の側に置くか、物理量の側に置くかの選び方である。期待値は

$$\langle \psi(t) | \hat A | \psi(t) \rangle =\langle \psi | \hat U(t)^\dagger\hat A\,\hat U(t) | \psi \rangle\tag{1.1.4}$$

と2通りに書け、左辺の読み方が Schrödinger 描像（状態 $| \psi(t) \rangle =\hat U(t)| \psi \rangle$ が動き、物理量は止まっている）、右辺の読み方が Heisenberg 描像（状態 $| \psi \rangle$ は止まり、物理量 $\hat A_H(t)=\hat U^\dagger\hat A\hat U$ が動く）である。$\hat H=\hat H_0+\hat V$ と分けて、$\hat H_0$ による時間発展だけを物理量に移し、残りを状態に残すのが相互作用描像である。どの描像でも式 (1.1.4) の値は同じなので、描像の選び方は予言を変えない。

これに対し構成は、そもそも何を出発点の対象に置くか（ベクトルか、行列か、作用か、分布か）の選択である。したがって構成と描像は表の2つの軸として独立に選べる。たとえば密度行列の構成にも Schrödinger 描像（$\hat\rho(t)$ が動く）と Heisenberg 描像（物理量が動く）があり、経路積分にも、状態の伝播を書く書き方と、演算子の時間順序積の期待値を書く書き方がある。行列力学は歴史的に Heisenberg 描像で書かれたが、行列力学の構成で Schrödinger 描像を使うこともできる（状態を $| n \rangle$ の基底での成分の列ベクトルとして動かせばよい）。

共通例題②を2つの描像で解く

共通例題②の Rabi 振動を、Schrödinger 描像と Heisenberg 描像の両方で解き、同じ答えが出ることを確かめる。$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ を、単位ベクトル $\bm{n}=(\Omega,0,\Delta)/\Omega'$ を使って $\hat H=-\frac{\hbar\Omega'}{2}\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ と書く。$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=1$ なので指数関数の展開が cos と sin にまとまり、

$$\hat U(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Omega't\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}/2}=\cos\frac{\Omega't}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{\Omega't}{2}\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\tag{1.1.5}$$

となる。以下 $c=\cos(\Omega't/2)$、$s=\sin(\Omega't/2)$ と書く。

Schrödinger 描像では、状態 $\hat U(t)| g \rangle$ の $| e \rangle$ 成分を求める。$\langle e | \sigma_x | g \rangle =1$、$\langle e | \sigma_z | g \rangle =0$、$\langle e | g \rangle =0$ なので$\langle e | \hat U(t) | g \rangle =\mathrm{i} s\,n_x$ で、

$$P_e(t)=\lvert \langle e | \hat U(t) | g \rangle \rvert ^2=n_x^2s^2=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{1.1.6}$$

を得る。

Heisenberg 描像では、$| e \rangle$ への射影 $| e \rangle \langle e |=(1+\sigma_z)/2$ を動かす。$\sigma_{z,H}(t)=\hat U^\dagger\sigma_z\hat U$ を計算するには、$\left[\sigma_z,\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\right]=n_x\left[\sigma_z,\,\sigma_x\right]=2\mathrm{i} n_x\sigma_y$ と、Pauli 行列の恒等式 $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})\sigma_z(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})=2n_z\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}-\sigma_z$ を使う。

$$\sigma_{z,H}(t)=(c-\mathrm{i} s\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma})\,\sigma_z\,(c+\mathrm{i} s\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}) =c^2\sigma_z+\mathrm{i} cs\left[\sigma_z,\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}\right]+s^2(2n_z\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}-\sigma_z)$$

で、$c^2-s^2=\cos\Omega't$、$2cs=\sin\Omega't$ を使って整理すると

$$\sigma_{z,H}(t)=\cos(\Omega't)\,\sigma_z-\sin(\Omega't)\,n_x\sigma_y+2s^2n_z(n_x\sigma_x+n_z\sigma_z)\tag{1.1.7}$$

となる。止まっている状態 $| g \rangle$ では $\langle \sigma_x \rangle =\langle \sigma_y \rangle =0$、$\langle \sigma_z \rangle =-1$ なので

$$\langle g | \sigma_{z,H}(t) | g \rangle =-\cos\Omega't-2s^2n_z^2=-(1-2s^2)-2s^2n_z^2=-1+2s^2n_x^2$$

（$n_x^2+n_z^2=1$ を使った）。したがって $P_e(t)=\langle g | (1+\sigma_{z,H}(t))/2 | g \rangle =n_x^2s^2$ で、式 (1.1.6) と一致する。

2つの計算は、同じ $\hat U$ を状態に掛けるか、物理量の両側から挟むかの違いだけである。Schrödinger 描像は1つの確率を出すのに短く、Heisenberg 描像は $\sigma_{z,H}(t)$ という演算子を1度求めれば、どの初めの状態についても期待値が出せる。Heisenberg 描像の式 (1.1.7) は、Bloch ベクトル $\bm{r}=\langle \bm{\sigma} \rangle$ が軸 $\bm{n}$ のまわりを角速度 $\Omega'$ で回る運動を、演算子の言葉で書いたものになっている。