なぜ調和振動子が主役なのか

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.1　★ 普遍性の動機づけ。

調和振動子 $\hat H=\dfrac{\hat p^2}{2M}+\dfrac{M\omega^2}{2}\hat x^2$ が量子力学で圧倒的に重要な理由は二つある。第一に、あらゆる安定平衡はその近傍で調和振動子に見える：ポテンシャル $V(x)$ の極小点 $x_0$ まわりの Taylor 展開 $V(x)\simeq V(x_0)+\tfrac12V''(x_0)(x-x_0)^2$ の2次項がまさに調和ポテンシャルである（分子の振動、固体の格子振動はこれ）。第二に、電磁場をはじめとする「場」の各モードが厳密に調和振動子であり、その量子 $n$ が光子数になる。第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の強制振動子の遷移確率が「光子統計」と同じ Poisson 分布になるのは偶然ではない。

解く前に長さの目安を作っておく。$\hbar,M,\omega$ から作れる唯一の長さは

$$x_0\equiv\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$$

で、これが波動関数の広がりのスケールになる（後で確かめる）。

固有値が正であることと、中心のずれた振動子

解く前に、固有値の符号と、ポテンシャルの中心をずらしたときの扱いを確かめておく。どちらも位置表示の式だけで分かる。

1. 運動エネルギーの項のマイナスは $\mathrm{i}^2$ に由来する。$\hat p^2=(-\mathrm{i}\hbar)^2\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2$ の中の因子 $\mathrm{i}^2=-1$ が、ハミルトニアンの2階微分の項のマイナスになる。期待値を部分積分（境界で $\psi\to0$）で書き直すと、負にならない量になる。

$$\Bigl\langle\frac{\hat p^2}{2M}\Bigr\rangle=-\frac{\hbar^2}{2M}\int\psi^*\psi''\,\mathrm{d} x=\frac{\hbar^2}{2M}\int|\psi'|^2\,\mathrm{d} x\ \ge0 .$$ 2. 固有値は正。ポテンシャルの期待値 $\frac{M\omega^2}{2}\int x^2|\psi|^2\mathrm{d} x$ も負にならないので、規格化された固有関数では $E\ge0$ である。固有値が0になるには $\psi'=0$ と $x\psi=0$ が同時に要り、そのような関数は恒等的に0で規格化できない。したがって $E>0$ で、最低の固有値は正の零点エネルギーになる。3. 中心のずれた振動子は変数変換で標準形になる。$V=\frac12M\omega^2(x-x_{\mathrm c})^2$ では $\xi=x-x_{\mathrm c}$ と置く。$\mathrm{d}/\mathrm{d} x=\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi$ なので運動エネルギーの項は形を変えず、$\xi$ について標準形になる。固有値は $x_{\mathrm c}$ によらず、固有関数は平行移動した $\psi_n(x-x_{\mathrm c})$ である。4. 平方完成で定数を固有値の側へ移す。$x$ の1次の項を含むポテンシャルは、平方完成で 3. の形にする。

$$\frac12M\omega^2x^2-Fx=\frac12M\omega^2(x-x_{\mathrm c})^2-\frac{F^2}{2M\omega^2},\qquad x_{\mathrm c}=\frac{F}{M\omega^2}.$$

$x$ によらない定数 $-F^2/(2M\omega^2)$ は、Schrödinger 方程式の右辺の固有値の側へ移す。$x$ の項と組んで完全平方を作る定数 $x_{\mathrm c}$ は、左辺の2乗の中に残す。

一様な力（電場中の電荷など）がかかった振動子や、第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の Landau ゲージの振動子は、この手順で標準形に直る。