昇降演算子の導入：ハミルトニアンの「因数分解」

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.2　★★★ $a,a^\dagger$ はエネルギー・行列要素・摂動計算の必須道具。

数の世界なら $\alpha^2+\beta^2=(\alpha-\mathrm{i}\beta)(\alpha+\mathrm{i}\beta)$ と複素数で因数分解できる。$\hat H$ も平方和なので同じことを試みる。無次元の組合せ

$$\hat a=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}\Bigl(\hat x+\frac{\mathrm{i}}{M\omega}\hat p\Bigr),\qquad \hat a^\dagger=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}\Bigl(\hat x-\frac{\mathrm{i}}{M\omega}\hat p\Bigr)$$

を定義する（$\hat a^\dagger$ は $\hat a$ のエルミート共役：$\hat x,\hat p$ がエルミートなので $\mathrm{i}\to-\mathrm{i}$ だけが反転する）。積を計算すると、演算子は可換でないため「因数分解」に交換子のお釣りが出る：

$$\hat a^\dagger\hat a=\frac{M\omega}{2\hbar}\Bigl(\hat x^2+\frac{\hat p^2}{M^2\omega^2}\Bigr)+\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}\left[\hat x,\,\hat p\right] =\frac{\hat H}{\hbar\omega}-\frac12.$$

また同様の計算で

$$\boxed{\ \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1\ }$$

が出る（$\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ がこの $1$ に化けた）。整理すると

$$\boxed{\ \hat H=\hbar\omega\Bigl(\hat N+\frac12\Bigr),\qquad \hat N\equiv\hat a^\dagger\hat a\ }$$

エネルギーの問題が、演算子 $\hat N$ の固有値問題に化けた。以降は $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ という一つの関係だけから、$\hat N$ の固有値が $0,1,2,\dots$ に限られることを示す。ポテンシャルの詳細はもう使わない。