固有値を整数に追い込む五段論法

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.3　★★ 固有値が整数 $n$ に落ちる論理。

$\hat N| \nu \rangle =\nu| \nu \rangle$（$| \nu \rangle$ は規格化済み）とおく。

(1) 非負性。 $\nu=\langle \nu | \hat a^\dagger\hat a | \nu \rangle =\|\hat a| \nu \rangle \|^2\ge0$。固有値はベクトルのノルムの2乗だから必ず非負。等号は $\hat a| \nu \rangle =0$ のときに限る。

(2) 梯子構造。 $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ と Leibniz 則から

$$\left[\hat N,\,\hat a\right]=\left[\hat a^\dagger,\,\hat a\right]\hat a=-\hat a,\qquad \left[\hat N,\,\hat a^\dagger\right]=\hat a^\dagger\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=+\hat a^\dagger.$$

これを使うと

$$\hat N(\hat a| \nu \rangle )=(\hat a\hat N-\hat a)| \nu \rangle =(\nu-1)(\hat a| \nu \rangle ),\qquad \hat N(\hat a^\dagger| \nu \rangle )=(\nu+1)(\hat a^\dagger| \nu \rangle ).$$

すなわち$\hat a$ は固有値を1下げ、$\hat a^\dagger$ は1上げる（梯子＝ladder の名の由来。消滅・生成演算子とも呼ぶ）。

(3) 下限の存在。 (2)を繰り返せば固有値 $\nu,\nu-1,\nu-2,\dots$ がいくらでも下れるように見える。だが(1)より負にはなれない。矛盾を避ける唯一の道は、ある状態 $| \nu_{\min} \rangle$ で梯子が断ち切れること：

$$\hat a| \nu_{\min} \rangle =0.$$

（ゼロベクトルは状態でないから、これ以上は下がらない。）

(4) 最低固有値は零。 (1)の等号条件より $\nu_{\min}=\|\hat a| \nu_{\min} \rangle \|^2=0$。最低状態を $| 0 \rangle$ と書く。

(5) 固有値は非負整数に限る。 最低が $0$ で、そこから $\hat a^\dagger$ で1ずつ上れるから $\nu=0,1,2,\dots$ はすべて実現する。逆に半端な値（例 $\nu=0.5$）が存在したら、(2)で下り続けると $0.5,-0.5,\dots$ と零を飛び越えて負に突き抜け、(1)に矛盾。ゆえに

$$\boxed{\ E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr),\qquad n=0,1,2,\dots\ }$$

スペクトルの3特徴——離散（非負性と梯子の衝突）、等間隔（$\hat a^\dagger$ が1ずつ上げる）、下に有界で零点エネルギー $\hbar\omega/2$ をもつ（§1.2の不確定性の見積もりと一致）——がすべて $\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1$ から自動的に出た。