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規格化係数：n\sqrt n の出所

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1部 第4章 調和振動子を一から解く

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.4　★★★ a∣n⟩=n∣n−1⟩a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle。行列要素の常用公式。

a^†∣n⟩∝∣n+1⟩\hat a^\dagger| n \rangle \propto| n+1 \rangle は分かったが、比例係数はいくつか。ノルムを測ればよい：

∥a^†∣n⟩∥2=⟨n∣a^a^†∣n⟩=⟨n∣N^+1∣n⟩=n+1,∥a^∣n⟩∥2=⟨n∣N^∣n⟩=n.\|\hat a^\dagger| n \rangle \|^2=\langle n | \hat a\hat a^\dagger | n \rangle =\langle n | \hat N+1 | n \rangle =n+1, \qquad \|\hat a| n \rangle \|^2=\langle n | \hat N | n \rangle =n.

（a^a^†=a^†a^+[a^, a^†]=N^+1\hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=\hat N+1 を使った。）位相を正の実数に選ぶ慣習で

 a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩,a^∣n⟩=n ∣n−1⟩ \boxed{\ \hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}\,| n+1 \rangle ,\qquad \hat a| n \rangle =\sqrt n\,| n-1 \rangle \ }

とくに a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 が 0=0\sqrt0=0 として整合している。また ∣n⟩=(a^†)nn!∣0⟩| n \rangle =\dfrac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}| 0 \rangle と、全状態が基底状態から機械的に構成できる。逆に解いた

x^=ℏ2Mω(a^+a^†)=x02(a^+a^†),p^=i2ℏx0(a^†−a^)\hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger)=\frac{x_0}{\sqrt2}(\hat a+\hat a^\dagger),\qquad \hat p=\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}\frac{\hbar}{x_0}(\hat a^\dagger-\hat a)

は行列要素の計算に毎回使う。a^,a^†\hat a,\hat a^\dagger は状態番号を1つ動かすので、⟨m∣x^∣n⟩\langle m | \hat x | n \rangle は m=n±1m=n\pm1 でしか残らない——この選択則が第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の摂動計算を機械的にする。

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
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