波動関数：基底状態は Gauss 関数

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.5　★★ 基底状態＝Gauss 関数。

ここまで波動関数を一度も書かずに全スペクトルが決まった。だが「粒子はどこにいるのか」を知るには位置表示 $\psi_n(x)=\langle x | n \rangle$ が要る。鍵は、基底状態の条件 $\hat a| 0 \rangle =0$ が波動関数の微分方程式になることだ。位置表示（$\hat x\to x,\ \hat p\to-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$）では

$$\hat a\,\psi_0=\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}\Bigl(x+\frac{\hbar}{M\omega}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigr)\psi_0(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}\psi_0}{\mathrm{d} x}=-\frac{x}{x_0^2}\,\psi_0.$$

これは1階の微分方程式で、変数分離ですぐ解ける（元の Schrödinger 方程式は2階だったことに注意——昇降演算子が方程式を「半分」にしてくれた）：

$$\boxed{\ \psi_0(x)=\Bigl(\frac{1}{\pi x_0^2}\Bigr)^{1/4}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2x_0^2}\Bigr)\ }$$

規格化定数は $\int|\psi_0|^2\mathrm{d} x=1$ から決めた。この $\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}$ の形の関数をGauss 関数という——中心で最大、左右対称に滑らかに減衰する釣鐘型の曲線で、確率・統計に現れる正規分布と同じ形である。幅の目安が冒頭の $x_0=\sqrt{\hbar/M\omega}$：粒子は古典的な静止点 $x=0$ に「居る」のではなく、幅 $x_0$ の雲として滲んでいる。これが零点振動の実体で、実際 $\Delta x=x_0/\sqrt2,\ \Delta p=\hbar/(\sqrt2 x_0)$ を計算すると $\Delta x\,\Delta p=\hbar/2$——不確定性関係の等号を満たす最小不確定状態になっている。