励起状態：Gauss 関数 $\times$ 多項式（Hermite 多項式）

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.6　★★ Hermite 多項式 $\times$ Gauss。

励起状態は $\hat a^\dagger$ を掛ければ出る。位置表示で $\hat a^\dagger\propto x-x_0^2\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ だから、Gauss 関数に作用させると

$$\Bigl(x-x_0^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigr)\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}=2x\,\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2},$$

すなわち $\psi_1(x)\propto x\,\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}$。もう一度掛けると $\propto(4x^2-2x_0^2)\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}$、さらに $\propto(8x^3-12x_0^2x)\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}$……と、毎回「$x$ の多項式 $\times$ 同じ Gauss 関数」の形が保たれ、多項式の次数が1ずつ上がる。無次元変数 $\xi=x/x_0$ で書いたこの多項式の族

$$H_0(\xi)=1,\quad H_1(\xi)=2\xi,\quad H_2(\xi)=4\xi^2-2,\quad H_3(\xi)=8\xi^3-12\xi,\ \dots$$

をHermite（エルミート）多項式と呼ぶ。名前は付いているが、実体は「$\hat a^\dagger$ を $n$ 回掛けたら出てくる $n$ 次多項式」以上でも以下でもない。まとめると

$$\boxed{\ \psi_n(x)\ \propto\ H_n\!\Bigl(\frac{x}{x_0}\Bigr)\,\mathrm{e}^{-x^2/2x_0^2}\ }$$

構造を読むと：(i) $H_n$ は $n$ 次多項式なので節（波動関数の零点）がちょうど $n$ 個——エネルギーが高いほど波動関数が細かく波打つ、という束縛状態の一般則の現れ。(ii) $H_n$ の偶奇は $n$ の偶奇に一致し、$\psi_n$ のパリティは $(-1)^n$——ポテンシャルが左右対称だから固有状態は偶か奇に分かれる。(iii) 遠方の減衰は全準位共通の Gauss 因子が支配する。