一般の状態の解き方と時間発展

量子力学入門　第1部 第4章 §1.4.7　★★ 重ね合わせの時間発展。

以上で「解の全体像」が揃った。任意の初期状態 $| \psi(0) \rangle$ に対する処方箋は：

1. 固有基底に展開する：$c_n=\langle n | \psi(0) \rangle$（位置表示なら $c_n=\int\psi_n^*(x)\psi(x,0)\mathrm{d} x$）。
2. 各成分の位相を回す：$| \psi(t) \rangle =\sum_n c_n\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega(n+1/2)t}| n \rangle$。
3. 欲しい量を読む：確率 $P_n=|c_n|^2$（時間に依らない！ $\hat H$ 固有値の分布は保存する）、期待値は行列要素の和。

たとえば位置の期待値は、$\hat x$ の選択則（$n\to n\pm1$ だけを結ぶ）から必ず隣接準位の干渉項のみで書け、

$$\langle \hat x \rangle (t)=\sum_n 2\,\operatorname{Re}\bigl[c_n^*c_{n+1}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\bigr]\langle n | \hat x | n+1 \rangle =A\cos(\omega t+\varphi)$$

という厳密に角振動数 $\omega$ の単振動になる（$A,\varphi$ は初期状態で決まる定数）。準位が等間隔だからこそ、すべての干渉項が同じ振動数 $\omega$ で回り、波束が崩れずに揺れ続ける——古典振動子との美しい対応である。第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』で登場するコヒーレント状態（$\hat a$ の固有状態）はこの対応が最も鮮明になる状態で、Gauss 波束が形を保ったまま古典軌道を往復する。