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相対位相が時間変化を生む

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1部 第3章 時間発展と定常状態

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第1部 第3章 §1.3.2　★★★ 相対位相の回転＝Larmor/Rabi 歳差の起源。

二つ以上の固有状態が重ね合わさると事情が一変する。各成分が異なる速さ En/ℏE_n/\hbar で回るため、相対位相（relative phase）が時間とともにずれ、これが観測にかかる。

例題 3.1

オリジナル★★★　2準位の相対位相振動＝Rabi の原型。2準位系 H^∣0⟩=E0∣0⟩, H^∣1⟩=E1∣1⟩\hat H| 0 \rangle =E_0| 0 \rangle ,\ \hat H| 1 \rangle =E_1| 1 \rangle で、初期状態 ∣ψ(0)⟩=12(∣0⟩+∣1⟩)| \psi(0) \rangle =\tfrac1{\sqrt2}(| 0 \rangle +| 1 \rangle ) とする。時刻 tt に同じ状態 ∣ψ(0)⟩| \psi(0) \rangle に見出される確率を求めよ。

解答

∣ψ(t)⟩=12(e−iE0t/ℏ∣0⟩+e−iE1t/ℏ∣1⟩)| \psi(t) \rangle =\tfrac1{\sqrt2}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_0t/\hbar}| 0 \rangle +\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_1t/\hbar}| 1 \rangle )。Born 則より

P(t)=∣⟨ψ(0)∣ψ(t)⟩∣2=∣e−iE0t/ℏ+e−iE1t/ℏ2∣2= cos⁡2(E1−E0)t2ℏ P(t)=\bigl|\langle \psi(0) | \psi(t) \rangle \bigr|^2 =\Bigl|\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_0t/\hbar}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_1t/\hbar}}{2}\Bigr|^2 =\boxed{\ \cos^2\frac{(E_1-E_0)t}{2\hbar}\ }

確率が準位間隔で決まる振動数 ω10=(E1−E0)/ℏ\omega_{10}=(E_1-E_0)/\hbar で振動する。第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の Rabi 振動も、本質はこの「2成分の相対位相の回転」である。

時間発展の要点

単一固有状態 ⇒\Rightarrow global phase のみ ⇒\Rightarrow 定常。重ね合わせ ⇒\Rightarrow relative phase が動く ⇒\Rightarrow 時間変化。量子ダイナミクスの時間変化はすべて相対位相の運動であり、その速さは常にエネルギー差で決まる（エネルギーの原点は global phase にしか効かない）。

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