2状態系という舞台

量子力学入門　第1部 第6章 §1.6.1　★★ 最小の量子系。

スピン $\tfrac12$ とは、粒子が持つ2次元の内部 Hilbert 空間である。「どの軸方向に測っても値は $\pm\hbar/2$ の2択」という実験事実（Stern–Gerlach）を出発点にとる。空間が2次元なので、基底を一組選べばすべての状態は2成分の複素ベクトルで書ける。慣習として$z$ 軸方向のスピンの固有状態を基底に選ぶ：

$$| + \rangle =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ (z\text{ 上向き}),\qquad | - \rangle =\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\ (z\text{ 下向き}).$$

ここで強調しておく——$z$ が特別なのは物理ではなく、我々の基底の選び方である。$x$ 基底で書き直せば $x$ が「特別」に見える。以下でスピン演算子を構成するが、どの行列が対角になるかはこの約束の反映にすぎない。