Pauli 行列を構成する

量子力学入門　第1部 第6章 §1.6.2　★★★ $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$。全スピン計算の基底。

$i$ 軸方向のスピンを $\hat S_i=\tfrac\hbar2\hat\sigma_i$ と書き、無次元部分 $\hat\sigma_i$（Pauli 行列）を作る。要請は「固有値が $\pm1$、エルミート」。

$\hat\sigma_z$：基準に選んだ軸。 $| \pm \rangle$ 自身が固有状態（固有値 $\pm1$）だから、自分の固有基底では対角：

$$\hat\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

$\hat\sigma_x$：位相なしの等分混合。 $x$ 方向上向きのスピンとは何か。$z$ で測れば上下が半々で出るはずだから、係数の大きさは等しい。最も素直な（位相を付けない）重ね合わせ

$$| x\pm \rangle =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| + \rangle \pm| - \rangle \bigr)$$

を固有値 $\pm1$ の固有状態にもつ行列は一意に決まり、

$$\hat\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$

——成分を入れ替えるスワップ行列である。（検算：$\hat\sigma_x| x\pm \rangle =\tfrac1{\sqrt2}(| - \rangle \pm| + \rangle )=\pm| x\pm \rangle$。）

$\hat\sigma_y$：$90^\circ$ の位相を足した等分混合。 $y$ 方向も上下等分の混合だが、$x$ と直交する向きなので相対位相で区別するしかない。$90^\circ$ の位相（因子 $\mathrm{i}$）を入れた

$$| y\pm \rangle =\frac1{\sqrt2}\bigl(| + \rangle \pm\mathrm{i}| - \rangle \bigr)$$

を固有状態にもつのが

$$\hat\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\ \mathrm{i}&0\end{pmatrix}.$$

つまり$\hat\sigma_x$ と $\hat\sigma_y$ の違いは非対角成分の位相だけ（実 $\leftrightarrow$ 虚）。3つまとめて、基本性質

$$\hat\sigma_i^2=\hat 1,\qquad \hat\sigma_i\hat\sigma_j=\mathrm{i}\sum_k\varepsilon_{ijk}\hat\sigma_k\ (i\neq j),\qquad \left[\hat\sigma_i,\,\hat\sigma_j\right]=2\mathrm{i}\sum_k\varepsilon_{ijk}\hat\sigma_k$$

が直接計算で確かめられる。忘れたときは巡回則 $\hat\sigma_x\hat\sigma_y=\mathrm{i}\hat\sigma_z$ から $\hat\sigma_y=\mathrm{i}\hat\sigma_x\hat\sigma_z$ と復元すればよい。

なぜ $x,y,z$ と呼ぶのか。 交換関係 $\left[\hat S_i,\,\hat S_j\right]=\mathrm{i}\hbar\sum_k\varepsilon_{ijk}\hat S_k$ は軌道角運動量 $\hat L_i$ とまったく同じ——これは回転の生成子の代数である。実際 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\,\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\sigma}/2}$ は「$\hat{\bm{n}}$ 軸まわり角 $\theta$ の回転」を状態に引き起こす（$\hat\sigma^2_{\bm{n}}=\hat1$ を使うと $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\sigma}/2}=\cos\tfrac\theta2-\mathrm{i}(\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\sigma})\sin\tfrac\theta2$ と閉じた形になる）。つまり $\hat\sigma_x,\hat\sigma_y,\hat\sigma_z$ は空間の $x,y,z$ 軸まわりの回転と結びついたベクトル演算子の3成分であり、名前は文字どおり空間の軸を指している。