Bloch 球：状態＝球面上の向き

量子力学入門　第1部 第6章 §1.6.3　★★★ 状態＝球面上の向き。回転の可視化。

規格化された一般の状態は、global phase の自由度を除けば2つの実パラメータで書ける：

$$| \psi \rangle =\cos\frac\theta2\,| + \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin\frac\theta2\,| - \rangle \qquad(0\le\theta\le\pi,\ 0\le\phi<2\pi).$$

この $(\theta,\phi)$ を極角・方位角とする単位ベクトル $\bm{n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ を対応させると、スピン $\tfrac12$ の純粋状態全体が球面（Bloch 球）と1対1に対応する。この対応は単なる絵ではない：直接計算で

$$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})| \psi \rangle =+| \psi \rangle ,\qquad \langle \bm{\sigma} \rangle =\langle \psi | \bm{\sigma} | \psi \rangle =\bm{n}$$

が確かめられる。すなわち $| \psi \rangle$ は「$\bm{n}$ 方向スピン上向き」の状態そのもので、スピンの期待値ベクトルが $\bm{n}$ を向く。$\theta=0$（北極）が $| + \rangle$、$\theta=\pi$（南極）が $| - \rangle$、赤道上の $\phi=0$ が $| x+ \rangle$、$\phi=\pi/2$ が $| y+ \rangle$——先ほど構成した固有状態たちが球面の6方向にきれいに配置される。直交する状態は球面上で反対側（同じ軸の両極）に来ることに注意（ベクトルとして直交ではなく、内積 $\langle \text{北} | \text{南} \rangle =0$）。

一般の実ベクトル $\bm{b}$ については、$(\bm{b}\cdot\bm{\sigma})^2=|\bm{b}|^2\hat1$（Pauli の積公式から一行）より

$$\boxed{\ \bm{b}\cdot\bm{\sigma}\ \text{の固有値は}\ \pm|\bm{b}|,\ \text{固有状態は}\ \pm\bm{b}\ \text{方向の Bloch ベクトル}\ }$$

この一点が第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』で繰り返し効く。磁場中のスピン $\hat H=\mu_B\bm{B}\cdot\bm{\sigma}$ のエネルギーは $\pm\mu_B|\bm{B}|$、固有状態は磁場方向に整列したスピン。磁場が時間変化すれば固有状態（Bloch ベクトル）も追随して回る——磁気共鳴は「回る磁場に Bloch ベクトルがついて行けるか」、断熱定理は「十分ゆっくりなら貼りついて行ける」という物語として読める。