一般のスピン $s$：次元・演算子・測定

量子力学入門　第1部 第6章 §1.6.4　★★ 次元 $2s+1$・昇降・測定。

スピン $\tfrac12$ は最小のスピンにすぎない。粒子には一般にスピン量子数 $s\in\{0,\tfrac12,1,\tfrac32,2,\dots\}$ が備わり、内部 Hilbert 空間の次元・測定の出方・回転の仕方がすべて $s$ で決まる。ここでは $s=\tfrac32$ を具体例に据えて、$\tfrac12$ で見た構造がどう一般化するかを丁寧に辿る。

次元は $2s+1$。

スピンの状態空間は $\hat S_z$ の固有状態 $| s,m \rangle$ を基底にとり、磁気量子数 $m$ は

$$m=-s,\ -s+1,\ \dots,\ s-1,\ s\qquad(\text{1刻みで }2s+1\ \text{個})$$

を走る。この「$-s$ から $s$ まで1刻み」は§1.7のスピン合成でみた梯子そのものである：最高状態 $| s,s \rangle$ から $\hat S_-$ で $m$ を1ずつ下げ、$| s,-s \rangle$ で $\hat S_-| s,-s \rangle =0$ と止まる。$s=\tfrac12$ なら $m=\pm\tfrac12$ の2次元（Pauli 行列の $\mathbb C^2$）、$s=\tfrac32$ なら $m=\tfrac32,\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac32$ の4次元である。スピン角運動量の大きさは

$$\hat S^2| s,m \rangle =\hbar^2 s(s+1)| s,m \rangle ,\qquad \hat S_z| s,m \rangle =\hbar m| s,m \rangle$$

で、昇降演算子は $\hat S_\pm| s,m \rangle =\hbar\sqrt{s(s+1)-m(m\pm1)}\,| s,m\pm1 \rangle$（§1.7と同じ公式）。

演算子は $(2s+1)\times(2s+1)$ 行列。

$s=\tfrac32$ で基底を $(| \tfrac32 \rangle ,| \tfrac12 \rangle ,| -\tfrac12 \rangle ,| -\tfrac32 \rangle )$ と並べ、上の公式を成分に落とすと（$\hbar\sqrt{s(s+1)-m(m+1)}$ が順に $\sqrt3,2,\sqrt3$）

$$\hat S_z=\frac\hbar2\!\begin{pmatrix}3&&&\\&1&&\\&&-1&\\&&&-3\end{pmatrix}\!,\quad \hat S_x=\frac\hbar2\!\begin{pmatrix}0&\sqrt3&0&0\\\sqrt3&0&2&0\\0&2&0&\sqrt3\\0&0&\sqrt3&0\end{pmatrix}\!,\quad \hat S_y=\frac\hbar2\!\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\sqrt3&0&0\\\mathrm{i}\sqrt3&0&-2\mathrm{i}&0\\0&2\mathrm{i}&0&-\mathrm{i}\sqrt3\\0&0&\mathrm{i}\sqrt3&0\end{pmatrix}\!.$$

Pauli 行列（$s=\tfrac12$ の $2\times2$）の一般化であり、直接計算で $\left[\hat S_x,\,\hat S_y\right]=\mathrm{i}\hbar\hat S_z$ と $\hat S^2=\tfrac{15}{4}\hbar^2\hat 1$（$=\hbar^2\cdot\tfrac32\cdot\tfrac52$、単位行列に比例）が確かめられる。角運動量の代数 $\left[\hat S_i,\,\hat S_j\right]=\mathrm{i}\hbar\varepsilon_{ijk}\hat S_k$ は $s$ によらず同じで、違うのは表現のサイズだけである。

測定：$2s+1$ 択。

どの軸方向に測っても、出る値は $\hat S_z$ の固有値

$$m\hbar\in\Bigl\{\tfrac32\hbar,\ \tfrac12\hbar,\ -\tfrac12\hbar,\ -\tfrac32\hbar\Bigr\}$$

の4択である（一般には $2s+1$ 択）。確率はいつも通り Born 則 $P(m)=|\langle s,m | \psi \rangle |^2$、測定後は $| s,m \rangle$ へ収縮する。ここは $s=\tfrac12$ と何ら変わらず、選択肢の本数が $2s+1$ に増えるだけだ。Stern–Gerlach 実験なら、$s=\tfrac12$ でビームが2本に割れたのに対し、$s=\tfrac32$ では4本に分裂する——歴史的には、観測された分裂本数から粒子のスピンが読み取られた。