2つの系を合わせる：テンソル積

量子力学入門　第1部 第7章 §1.7.1　★★★ 2系の合成＝テンソル積。

第9部『同種粒子と第二量子化』では電子が2個登場する。複数の系を合わせた全体の状態空間はどう作るか——答えはテンソル積である。系1の基底 $\{| u_i \rangle \}$（次元 $d_1$）と系2の基底 $\{| v_j \rangle \}$（次元 $d_2$）から、ペア

$$| u_i \rangle \otimes| v_j \rangle \equiv| u_i\,v_j \rangle \qquad(d_1d_2\ \text{個})$$

を全体の基底とする空間を作る（次元は積 $d_1d_2$）。スピン $\tfrac12$ が2つなら $2\times2=4$ 次元で、基底は

$$| \uparrow\uparrow \rangle ,\quad| \uparrow\downarrow \rangle ,\quad| \downarrow\uparrow \rangle ,\quad| \downarrow\downarrow \rangle$$

（左が粒子1、右が粒子2）。系1の演算子は自分の因子だけに作用する：$\hat S_{1z}| \uparrow\downarrow \rangle =+\tfrac\hbar2| \uparrow\downarrow \rangle$、$\hat S_{2z}| \uparrow\downarrow \rangle =-\tfrac\hbar2| \uparrow\downarrow \rangle$。

重ね合わせの原理はこの4次元空間全体で成り立つから、$| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle$ のような、どちらの粒子の状態も単独では確定していない状態（もつれた状態）が必然的に存在する。これから作る1重項がまさにそれで、第9部『同種粒子と第二量子化』の交換相互作用の主役になる。