全スピンという良い量子数

量子力学入門　第1部 第7章 §1.7.2　★★★ $\hat{\bm S}^2$ と $\hat S_z$ の同時固有状態。

2粒子の全スピンを $\hat{\bm{S}}=\hat{\bm{S}}_1+\hat{\bm{S}}_2$ と定義する。各成分は角運動量の交換関係を満たすので、$\hat S^2$ と $\hat S_z$ は可換で同時対角化でき、固有値を

$$\hat S^2| S,M \rangle =\hbar^2S(S+1)| S,M \rangle ,\qquad \hat S_z| S,M \rangle =\hbar M| S,M \rangle$$

とラベルできる（$M=-S,\dots,S$）。問題は：4次元空間は $(S,M)$ でどう分類されるか。答えを先に言えば $S=1$（3状態）と $S=0$（1状態）に分かれる——$4=3+1$。これを昇降演算子で完全に構成する。全スピンの昇降演算子は

$$\hat S_\pm=\hat S_x\pm\mathrm{i}\hat S_y=\hat S_{1\pm}+\hat S_{2\pm},\qquad \hat S_\pm| S,M \rangle =\hbar\sqrt{S(S+1)-M(M\pm1)}\,| S,M\pm1 \rangle$$

（2行目は§1.4.3と同じ論法——非負性と梯子——を角運動量代数に適用して得られる一般公式。1粒子には $\hat S_{1-}| \uparrow \rangle =\hbar| \downarrow \rangle ,\ \hat S_{1-}| \downarrow \rangle =0$ として働く）。