スピン量子数 $s$ は何を表すか

量子力学入門　第1部 第6章 §1.6.5　★★ スピン量子数 $s$ の物理的意味。

「自転の速さ」ではなく、回転に対する変換の型番。

素朴には「スピン＝粒子の自転」と思いたくなるが、点粒子である電子が文字どおり回っているわけではない（表面速度を古典的に見積もると光速を超える）。$s$ が本当に表すのは、状態が空間回転に対してどう変換するかという「型」である。回転演算子 $\hat R(\theta,\hat{\bm{n}})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\,\hat{\bm{n}}\cdot\hat{\bm{S}}/\hbar}$ を状態にかけると、$2s+1$ 個の成分 $| s,m \rangle$ が互いに混ざり合う。その混ざり方（回転行列 $=$ Wigner の $D$ 行列）が $s$ ごとに完全に決まっており、数学の言葉でいえば $s$ は回転群の既約表現のラベルである。$\hat S^2=\hbar^2s(s+1)$ はその表現を特徴づける不変量（Casimir 不変量）で、「角運動量の大きさ」と「回転変換の型番」が同じ $s$ で束ねられているのは、回転を生成するのが角運動量だからにほかならない。

半整数スピンは $2\pi$ 回転で符号が反転する。

この「型」の最も劇的な違いが、一回転の効き方に出る。$z$ 軸まわり $2\pi$ 回転を $| s,m \rangle$ にかけると

$$\hat R(2\pi,\hat{\bm{z}})| s,m \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}2\pi m}| s,m \rangle =(-1)^{2m}| s,m \rangle =\begin{cases}+| s,m \rangle &(s\ \text{整数})\\[2pt]-| s,m \rangle &(s\ \text{半整数})\end{cases}$$

（$2m$ の偶奇は $2s$ の偶奇に等しい）。半整数スピンは、空間を一周させても元に戻らず符号が反転する——このような対象をスピノルと呼ぶ。普通の矢印（ベクトル、$s=1$）が $2\pi$ で当然戻るのと本質的に違い、$s$ が「ただの矢印の長さ」でない何よりの証拠である（戻るには $4\pi$ 要る）。

スピンと統計：第9部『同種粒子と第二量子化』への直結。

整数か半整数かの区別は、単なる数学的分類ではなく物質の構造を決める。スピン統計定理により、整数スピンの粒子はボゾン（波動関数が交換に対称）、半整数スピンの粒子はフェルミオン（反対称）である。電子が $s=\tfrac12$ のフェルミオンであること——これが Pauli 排他律を生み、原子の電子殻構造・周期表・物質の固さの根源になる。第9部『同種粒子と第二量子化』の同種粒子系はまさにこの帰結を扱う。「$2\pi$ 回転の符号」と「交換の符号」が結びついているのは深い事実で、スピンという内部の型番が、二粒子を入れ替えたときの符号までも支配しているのである。

$s$ は粒子固有で不変。

スピン $s$ は質量や電荷と同じく粒子の種類ごとに固定された属性で、励起して変えることはできない（合成系の全スピン $S$ が状態により $1\oplus0$ と変わる§1.7のとは対照的）。実例：電子・陽子・中性子は $\tfrac12$、光子は $1$（ただし質量ゼロゆえヘリシティ2状態のみで $2s+1$ の数え方は特殊）、$\rho$ 中間子や重陽子は $1$、$\Delta$ バリオンや $^{23}$Na・$^{7}$Li の原子核は $\tfrac32$、重力子は $2$。

ベクトルの長さは $s\hbar$ でなく $\hbar\sqrt{s(s+1)}$。

期待値ベクトル $\langle \hat{\bm{S}} \rangle$ の大きさは最大でも $s\hbar$（$m=s$ のとき）だが、$\hat S^2$ の値は $\hbar^2s(s+1)>s^2\hbar^2$。$s=\tfrac32$ なら「長さ」$\hbar\sqrt{15}/2\approx1.94\hbar$ に対し最大射影は $1.5\hbar$。差額は横成分 $\hat S_x,\hat S_y$ の零点揺らぎ（$\left[\hat S_x,\,\hat S_y\right]\neq0$ による不確定性）で、スピンは決して一つの軸に完全整列できない。調和振動子が底に静止できず零点エネルギーをもつのと同種の、非可換性の帰結である。

$s\ge1$ では Bloch 球が使えない。

最後に重要な注意。$s=\tfrac12$ では純粋状態が球面 $S^2$ の1点と1対1対応した（Bloch 球）が、$s\ge1$ ではこの描像は成り立たない。$s=\tfrac32$ の純粋状態は複素4次元（規格化と全体位相を除いて実 $4s=6$ パラメータ）を動くのに対し、期待値ベクトル $\langle \hat{\bm{S}} \rangle$ はたった3成分——向きだけでは状態を指定しきれない。余った自由度は、四重極モーメント $\langle \hat S_i\hat S_j \rangle$ 以上の高次テンソル（「向き」に加えた「形」）に宿る。核磁気共鳴で $s\ge1$ の核が電場勾配と結合して四重極分裂を示すのは、この余分な自由度の物理的現れである。スピン $\tfrac12$ が例外的に「きれい」で球面1枚に収まるのは、2次元ゆえ任意のハミルトニアンが $\bm{b}\cdot\bm{\sigma}$ の形に尽き、状態が向きだけで決まるからだった、というわけである。なお、Bloch 球のパラメータ表示は「$| \uparrow \rangle$ を回転演算子で回した状態」として回転の側からも再導出できる——第4部『スピンと角運動量合成』で詳述している。