測定の公理：Born 則と射影

量子力学入門　第1部 第1章 §1.1.4　★★ Born 則・射影・測定後の状態。

公理3（測定）：状態 $| \psi \rangle$ にある系で観測量 $\hat A$ を測定すると、

• 得られる値は $\hat A$ の固有値 $a$ のいずれかに限られる。
• 固有値 $a$ が得られる確率はBorn 則

$$\boxed{\ P(a)=|\langle a | \psi \rangle |^2\ }$$

で与えられる（$a$ が縮退している場合は、その固有空間への射影 $\hat P_a=\sum_i| a,i \rangle \langle a,i |$ を使って $P(a)=\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle$）。

• 測定直後、状態は測定値 $a$ に対応する固有状態 $| a \rangle$（縮退時は $\hat P_a| \psi \rangle$ を規格化したもの）に収縮する。

展開 $| \psi \rangle =\sum_a c_a| a \rangle$ の係数 $c_a=\langle a | \psi \rangle$ の絶対値2乗が確率——だから $c_a$ を確率振幅と呼ぶ。規格化 $\langle \psi | \psi \rangle =\sum_a|c_a|^2=1$ は「どれかの値は必ず出る（全確率1）」の表現である。

期待値の公式はここから導かれる。測定値の平均は $\sum_a a\,P(a)$ で、完全性を挿し込むと

$$\sum_a a\,|\langle a | \psi \rangle |^2=\sum_a\langle \psi | a \rangle \,a\langle a | \psi \rangle =\langle \psi |\Bigl(\sum_a a| a \rangle \langle a |\Bigr)| \psi \rangle =\langle \psi | \hat A | \psi \rangle \equiv\langle \hat A \rangle$$

となる（$\sum_a a| a \rangle \langle a |=\hat A$ は固有基底での $\hat A$ のスペクトル分解）。つまり $\langle \hat A \rangle =\langle \psi | \hat A | \psi \rangle$ は独立の公理ではなく、Born 則の帰結である。

「遷移確率」もこの言葉で言い直せる。時刻 $t$ の状態 $| \psi(t) \rangle$ に対し「系を状態 $| n \rangle$ に見出す確率」とは、$| n \rangle$ を固有状態にもつ観測量（たとえば $\hat H_0$）を測ったとき対応する値が出る確率であり、

$$P_n(t)=|\langle n | \psi(t) \rangle |^2.$$

第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の Rabi 振動のスピン反転確率 $|\langle - | \psi(t) \rangle |^2$ も、強制振動子の $P_n(t)$ も、すべてこの Born 則そのものである。