自由粒子の波束

量子力学入門　第1部 第2章 §1.2.3　★★ 平面波を重ね合わせて粒子を局在させる。磁場中の電子・コヒーレント状態・散乱の議論で毎回使う

(1) 平面波だけでは粒子を表せない

運動量が $p$ に決まった状態は平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$ である（1.2.2 節）。その確率密度は $|\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}|^2=1$ で、粒子は全空間に一様に広がっている。$\int|\psi|^2\mathrm{d} x$ が発散するので規格化もできない。実際の粒子はどこかに局在しているので、平面波1つでは表せない。

(2) 運動量の少しずつ違う平面波を重ね合わせる

1.2.2 節 (3) の Fourier 積分は、そのまま粒子を局在させる処方になる。

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}\,\mathrm{d} p$$

重み $\varphi(p)$ が運動量 $p_0$ のまわりに幅 $\sigma_p$ で集まっていると、各平面波は $x=0$ の近くでは位相がそろって強め合い、遠くでは位相がばらばらになって打ち消し合う。こうして1か所に集まった重ね合わせを波束と呼ぶ。

重みをガウス関数に選ぶと、位置の側もガウス関数になる。

$$\varphi(p)=(2\pi\sigma_p^2)^{-1/4}\exp\Bigl[-\frac{(p-p_0)^2}{4\sigma_p^2}\Bigr] \quad\Longrightarrow\quad \psi(x)=(2\pi\sigma_x^2)^{-1/4}\exp\Bigl[-\frac{x^2}{4\sigma_x^2}+\frac{\mathrm{i} p_0x}{\hbar}\Bigr],\qquad \sigma_x=\frac{\hbar}{2\sigma_p}$$

ここで $\sigma_x$ と $\sigma_p$ は、それぞれ $|\psi(x)|^2$ と $|\varphi(p)|^2$ の標準偏差である。運動量を広く混ぜるほど位置はよく決まり、積はいつも $\sigma_x\sigma_p=\hbar/2$ である。これは Robertson の不確定性関係の下限で、ガウス波束は不確定性が最小の状態になっている。因子 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0x/\hbar}$ は波束全体に運動量 $p_0$ を与える。

(3) 時間がたつと、中心は古典的に進み、幅は広がる

各成分は自分のエネルギー $E(p)=p^2/2m$ で位相が回る。

$$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(px-E(p)t)/\hbar}\,\mathrm{d} p$$

ガウス波束ではこの積分が実行でき、確率密度は中心 $p_0t/m$、標準偏差 $\sigma_x(t)$ のガウス関数になる。

$$\langle \hat x \rangle (t)=\frac{p_0}{m}\,t,\qquad \sigma_x(t)=\sigma_x\sqrt{1+\Bigl(\frac{t}{\tau}\Bigr)^2},\qquad \tau=\frac{2m\sigma_x^2}{\hbar}$$

中心の速さ $p_0/m$ は群速度 $\mathrm{d} E/\mathrm{d} p$ で、古典粒子の速さと同じである。

幅が広がる理由は、成分ごとに速さが違うことにある。運動量の広がり $\sigma_p$ は速さの広がり $\sigma_p/m$ に当たり、$t\gg\tau$ では $\sigma_x(t)\approx\sigma_pt/m$ となる。速い成分が先へ、遅い成分が後ろへ離れていくので、いったん干渉で1か所に集めた状態がほどけていく。初めに狭く閉じ込めた波束ほど $\sigma_p$ が大きく、$\tau\propto\sigma_x^2$ も短いので、早く崩れる。

(4) 崩れない波束：同じエネルギーの成分だけを重ねる

崩れる原因は、成分ごとにエネルギーが違い、位相の回る速さがそろわないことだった。逆に、同じエネルギーを持つ状態だけを重ね合わせれば、全成分の位相が同じ $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et/\hbar}$ で回り、波束の形は時間がたっても変わらない。縮重した準位の中の重ね合わせは、それ自身が同じエネルギーの固有状態だからである。

磁場中の電子の Landau 準位はこの例で、1つの準位の中で名札 $p_y$ の違う状態を重ねると、$y$ 方向にも局在したまま止まっている波束ができる（第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』）。古典的には円運動の中心が動かないことに対応する。エネルギーが等間隔の調和振動子では、異なる準位を重ねても位相差が周期 $2\pi/\omega$ で元に戻るので、波束は崩れずに往復する（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』のコヒーレント状態）。