なぜ運動量演算子は微分 $-\mathrm{i}\hbar\,\partial_x$ なのか

量子力学入門　第1部 第2章 §1.2.2　★★ $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\partial_x$ の由来。平面波・Fourier 展開・並進の生成子。

一言でいうと、運動量 $p$ をもつ粒子の波動関数は平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$ である。これを位置で微分すると、係数として運動量そのものが出てくる。

前節では位置表示の $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ を既知として交換子を計算した。本節では、この形がどの実験事実から来て、一般の波動関数に対して何をしているのかを順に確かめる。同じ議論は時間微分とエネルギーの対にもそのまま当てはまる。

(1) de Broglie の関係：運動量 $p$ の粒子は平面波

de Broglie（1924）は、運動量 $p$ の粒子には波長 $\lambda=h/p$ の波が伴うと仮定した。Davisson と Germer（1927）は電子線をニッケル単結晶に当て、反射強度が Bragg 条件を満たす角度で極大になることを観測した。その角度から求めた波長は、加速電圧から計算した電子の運動量を $h/p$ に代入した値と一致した。こうして次の関係が実験で確認された：

$$p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}.$$

波数 $k$ をもつ最も単純な波は平面波

$$\psi_p(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$$

である。余弦波でなく複素指数関数を使う理由は、余弦波が向きの逆な2つの平面波の和

$$\cos kx=\tfrac12\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\bigr)$$

であり、運動量 $\pm p$ の重ね合わせだからである。運動量の向きまで確定した状態は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$ の片方だけで表される。なお $|\psi_p|^2=1$ は $x$ によらないので、この状態では位置がまったく定まっていない。

(2) 平面波から $p$ を取り出す操作

平面波を $x$ で微分すると、指数の肩の係数が前に出る：

$$\frac{\mathrm{d}\psi_p}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{i} p}{\hbar}\,\psi_p .$$

両辺に $\hbar/\mathrm{i}=-\mathrm{i}\hbar$ を掛けると

$$\boxed{\ -\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\,\psi_p=p\,\psi_p\ }$$

となる。これは演算子 $-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ の固有値方程式である。固有関数は平面波 $\psi_p$ で、固有値は運動量の値に等しい。

したがって $\hat p\equiv-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ と定めると、運動量が確定した状態（平面波）がちょうど固有値 $p$ の固有状態になる。係数のうち $\hbar$ は、微分で出てくる波数を運動量 $p=\hbar k$ に換算する因子である。係数 $-\mathrm{i}$ は、微分で出てくる $\mathrm{i}$ を打ち消して固有値を実数にする因子である。仮に $\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ を使うと、固有値は純虚数 $\mathrm{i} p$ になり測定値として意味を持たない。

この $-\mathrm{i}$ はエルミート性とも対応している。部分積分（境界で $\varphi,\psi\to0$）により

$$\int\varphi^*\,\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d} x}\,\mathrm{d} x=-\int\Bigl(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x}\Bigr)^{\!*}\psi\,\mathrm{d} x$$

なので、$\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ 自体は反エルミートである。虚数単位を1つ掛けるとエルミートになり、観測量の条件（実固有値）を満たす。符号を $-\mathrm{i}$ に選ぶ理由は、正の向きの運動量の状態を $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} px/\hbar}$ で表すと約束しているからである。

(3) 一般の波動関数：Fourier 展開で平面波に分ける

一般の $\psi(x)$ は平面波ではない。しかし Fourier 積分によって平面波の重ね合わせとして書ける：

$$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}\,\mathrm{d} p .$$

係数 $\varphi(p)$ を運動量空間の波動関数と呼ぶ。

この式に $-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ を作用させると、微分は積分の中の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}$ にだけ掛かる。各成分は (2) の固有値方程式に従うので

$$-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}p\,\varphi(p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} px/\hbar}\,\mathrm{d} p$$

となる。つまり位置表示での微分は、運動量空間では各成分 $\varphi(p)$ に $p$ を掛ける操作である。位置表示で位置演算子 $\hat x$ が座標の掛け算であるのと同じく、運動量表示では $\hat p$ が運動量の掛け算になる。

Born 則により、$|\varphi(p)|^2$ は運動量の測定値が $p$ になる確率密度である。Parseval の等式を使うと、期待値について

$$\langle \hat p \rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d} x}\Bigr)\mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty}p\,|\varphi(p)|^2\,\mathrm{d} p$$

が成り立つ。$x$ 側で微分して積分する計算は、測定値 $p$ をその確率で平均する計算と同じ値を与える。

(4) 平行移動の生成子

$\psi(x+a)$ を $a$ について Taylor 展開し、指数関数の級数と見比べる：

$$\begin{aligned}\psi(x+a)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\frac{\mathrm{d}^n\psi}{\mathrm{d} x^n} =\exp\Bigl(a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigr)\psi(x) &&(\text{指数関数の級数の定義})\\ &=\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\,\hat p\Bigr)\psi(x) &&\Bigl(a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\Bigl(-\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Bigr)\Bigr).\end{aligned}$$

ずらす量が小さいときは

$$\psi(x+a)\simeq\psi(x)+\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\,\hat p\,\psi(x)$$

であり、$\hat p$ は無限小の平行移動を生み出す演算子（並進の生成子）である。平面波に当てはめると $\psi_p(x+a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} pa/\hbar}\psi_p(x)$ で、平行移動は位相を掛けるだけになる。

符号に注意しておく。波動関数を正の向きへ距離 $a$ だけずらした状態は $\psi(x-a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}\psi(x)$ である。次々節の並進演算子 $\hat T(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat P/\hbar}$ はこちらの向きで定義してある。

この見方は解析力学の「運動量は並進の生成子」と同じ内容である。古典力学では Poisson 括弧 $\{x,p\}_{\rm PB}=1$ により、運動量を生成関数とする無限小正準変換が平行移動 $x\to x+\varepsilon$ を与える。Noether の定理によれば、Lagrangian が $x\to x+\varepsilon$ で不変なら、共役運動量 $p=\partial L/\partial\dot x$ が保存する。

量子力学ではこれが交換子の言葉になる。ハミルトニアンがすべての平行移動 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ と可換なら、ずらす量の1次の項から $\left[\hat H,\,\hat p\right]=0$ が従う。Heisenberg の運動方程式（§1.5.3）により $\mathrm{d}\hat p_H/\mathrm{d} t=0$ となり、運動量が保存する。

量子力学では運動量をまず並進の生成子として定義し、それが自由粒子では $m\dot x$ に一致する、という順序で理解するとよい。磁場中で正準運動量が $m\dot x$ からずれるのはこのためで、次々節で扱う。

(5) 時間とエネルギーの対

光電効果で確かめられた Einstein の関係 $E=\hbar\omega$ を de Broglie は物質波にも当てはめた。時間まで含めた平面波は

$$\Psi(x,t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(px-Et)/\hbar}$$

である。$x$ と $t$ でそれぞれ微分すると

$$-\mathrm{i}\hbar\,\partial_x\Psi=p\,\Psi,\qquad \mathrm{i}\hbar\,\partial_t\Psi=E\,\Psi$$

を得る。符号が逆になる理由は、位相が $kx-\omega t$ の形をしているからである。波数と角振動数がともに正なら、これは正の向きに進む波を表す。

自由粒子のエネルギー $E=p^2/2m$ にこの対応を代入すると、自由粒子の Schrödinger 方程式

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\,\partial_x^2\Psi$$

が出る。ポテンシャル $V(x)$ を足したものが $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\Psi=\hat H\Psi$ である。(4) と並べると、$\hat p$ が空間の並進を生成するのと同じく、$\hat H$ は時間の並進

$$\Psi(t+\tau)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H\tau/\hbar}\,\Psi(t)$$

を生成する。時間並進の対称性からエネルギー保存が出るのも、空間並進と運動量の関係と同じ構造である。

(6) 使い道：$y,z$ を含まないハミルトニアンの変数分離

3次元では $\hat p_y=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_y$、$\hat p_z=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_z$ である。ハミルトニアンが座標 $y,z$ を含まず、その方向については運動量演算子だけを含むとする。このときハミルトニアンは $y,z$ 方向の平行移動と可換であり、$\hat p_y,\hat p_z$ との同時固有状態をとることができる。その形は

$$\psi(x,y,z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(p_yy+p_zz)/\hbar}\,\varphi(x)$$

であり、ハミルトニアンの中の運動量演算子 $\hat p_y,\hat p_z$ は固有値 $p_y,p_z$ に置き換わる。残るのは $\varphi(x)$ についての1次元の固有値問題である。

その代表例が第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の Landau ゲージである。一様磁場 $\bm{B}=B\bm{e}_z$ をベクトルポテンシャル $\bm{A}=(0,Bx,0)$ で表すと

$$\hat H=\frac{1}{2m}\Bigl[\hat p_x^2+\bigl(\hat p_y-qB\hat x\bigr)^2+\hat p_z^2\Bigr]$$

となり、座標は $x$ しか現れない。運動量演算子を固有値 $p_y$ に置き換えると、残る1変数の波動関数は中心 $x_0=p_y/qB$ の調和振動子の方程式に従う。サイクロトロン角振動数を $\omega_c=|q|B/m$ と書くと、固有値は Landau 準位

$$E=\hbar\omega_c\bigl(n+\tfrac12\bigr)+\frac{p_z^2}{2m}$$

になる。統計力学の Landau 反磁性で縮退度を数えるときは、この $p_y$ の取りうる値の数を数える。指数関数の形が仮定でなく固有値方程式の解として出ること、$p_y$ が速度 $mv_y$ でなく軌道の中心を指す量子数であることは、第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の Landau ゲージの節で扱う。