正準交換関係

量子力学入門　第1部 第2章 §1.2.4　★★ $[x,p]=\mathrm{i}\hbar$ の基礎

量子力学の出発点となる関係は正準交換関係

$$\boxed{\ \left[\hat x_j,\,\hat p_k\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta_{jk},\qquad \left[\hat x_j,\,\hat x_k\right]=\left[\hat p_j,\,\hat p_k\right]=0\ }$$

である。位置表示で確かめると、任意の $\psi$ に対し

$$\left[\hat x,\,\hat p\right]\psi=x(-\mathrm{i}\hbar\psi')-(-\mathrm{i}\hbar)(x\psi)'=-\mathrm{i}\hbar x\psi'+\mathrm{i}\hbar(\psi+x\psi')=\mathrm{i}\hbar\psi$$

となり成立する。座標の関数 $f(\hat{\bm{r}})$ に対しては

$$\left[\hat p_j,\,f(\hat{\bm{r}})\right]=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_j f(\hat{\bm{r}})$$

が成り立つ（$f$ を $\hat p_j=-\mathrm{i}\hbar\partial_j$ に作用させ Leibniz 則を使えばよい）。この公式は第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』で、運動量と磁場のベクトルポテンシャル $\bm{A}(\hat{\bm{r}})$ の交換子を計算する際に至る所で使う。