正準共役とは何か

量子力学入門　第1部 第2章 §1.2.5　★★ 磁場中の問題では実効的な正準共役対を使う

正準交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ の背後にある「正準共役」という概念を、少し抽象化して掴んでおく。これは第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』で「$\hat x,\hat p$ でない別のペア」に対して昇降演算子を使う際の伏線になる。

古典力学から。

第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』で見るように、一般化座標 $q$ に対し正準運動量を $p=\partial L/\partial\dot q$ で定める。この $(q,p)$ のペアを正準共役な変数と呼び、Poisson 括弧

$$\{A,B\}_{\rm PB}=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}$$

に対して $\{q,p\}_{\rm PB}=1,\ \{q,q\}_{\rm PB}=\{p,p\}_{\rm PB}=0$ を満たす。これが正準共役の定義式である。

「相手のシフトを生成する」関係。

Hamilton 方程式 $\dot q=\{q,H\},\ \dot p=\{p,H\}$ が示すように、正準共役なペアは互いに相手の変化を駆動し合う。とくに運動量 $p$ は位置の並進（$q\to q+a$）を生成し、位置 $q$ は運動量の並進を生成する。「$p$ で $q$ を動かし、$q$ で $p$ を動かす」——この相互生成の関係が「共役（対になっている）」の名の由来である。

量子論への翻訳。

前項の対応 $\{\,\cdot\,,\,\cdot\,\}_{\rm PB}\leftrightarrow\frac1{\mathrm{i}\hbar}\left[\,\cdot\,,\,\,\cdot\,\right]$ により、正準共役の量子的定義は

$$\boxed{\ \left[\hat Q,\,\hat P\right]=\mathrm{i}\hbar\ (\text{あるいは定数})\ }$$

となる。生成子の役割もそのまま生き、並進演算子 $\hat T(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat P/\hbar}$ が $\hat Q\to\hat Q+a$ を引き起こす（これは $\left[\hat Q,\,\hat P\right]=\mathrm{i}\hbar$ から直接従う）。

相手は $\hat x,\hat p$ でなくてよい。

ここが重要な一般化である。交換子が定数になるペアであれば、それは「実効的な正準共役対」として $\hat x,\hat p$ とまったく同じに振る舞う。第5部『電磁場中の荷電粒子とゲージ』の磁場の問題では、案内中心からの相対変位 $\hat R_x,\hat R_y$ が

$$\left[\hat R_x,\,\hat R_y\right]=-\mathrm{i}\ell_B^2\ (\text{定数})$$

を満たし、$\ell_B^2$ を「$\hbar$ の代役」とする正準共役対になる。本来は同じ「位置」の $x,y$ 成分なのに、磁場のおかげで一方が他方の実効的な運動量を演じるのだ。すると $\Delta R_x\,\Delta R_y\ge\ell_B^2/2$（不確定性の磁場版）が成り立ち、平方和 $\hat R_x^2+\hat R_y^2$ は調和振動子の形になって昇降演算子が使える。