可換性と同時固有状態

（$\Rightarrow$）同時固有状態 $| \psi \rangle$ では $\left[\hat A,\,\hat B\right]| \psi \rangle =(ab-ba)| \psi \rangle =0$。これが空間を張る基底すべてで成り立てば、演算子として $\left[\hat A,\,\hat B\right]=0$。

（$\Leftarrow$）$\hat A| a \rangle =a| a \rangle$ に可換性を使うと $\hat A(\hat B| a \rangle )=\hat B(\hat A| a \rangle )=a(\hat B| a \rangle )$、すなわち $\hat B| a \rangle$ も固有値 $a$ の $\hat A$ 固有状態。$a$ が非縮退なら $\hat B| a \rangle \propto| a \rangle$ で $| a \rangle$ は $\hat B$ の固有状態にもなる。縮退していれば $\hat B$ はその固有空間を自分自身へ写すので、縮退空間の中で $\hat B$ を対角化すれば同時固有基底がとれる。