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Robertson の不確定性関係

2026年10月22日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1部 第2章 交換子と不確定性関係

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第1部 第2章 §1.2.7　★ 一般形の導出は理解の補強。

★　Robertson の一般不等式。

命題 （一般化不確定性関係）

任意の状態で

 ΔA ΔB ≥ 12∣⟨[A^, B^]⟩∣ \boxed{\ \Delta A\,\Delta B\ \ge\ \frac12\bigl|\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle \bigr|\ }

ここで (ΔA)2=⟨(A^−⟨A^⟩)2⟩(\Delta A)^2=\langle (\hat A-\langle \hat A \rangle )^2 \rangle は分散。

証明

偏差演算子 δA^=A^−⟨A^⟩\delta\hat A=\hat A-\langle \hat A \rangle、δB^=B^−⟨B^⟩\delta\hat B=\hat B-\langle \hat B \rangle（ともにエルミート）を導入し、∣f⟩=δA^∣ψ⟩, ∣g⟩=δB^∣ψ⟩| f \rangle =\delta\hat A| \psi \rangle ,\ | g \rangle =\delta\hat B| \psi \rangle とおく。分散は (ΔA)2=∥f∥2, (ΔB)2=∥g∥2(\Delta A)^2=\|f\|^2,\ (\Delta B)^2=\|g\|^2。

Step 1（Cauchy–Schwarz の不等式）.

(ΔA)2(ΔB)2=∥f∥2∥g∥2 ≥ ∣⟨f∣g⟩∣2.(\Delta A)^2(\Delta B)^2=\|f\|^2\|g\|^2\ \ge\ |\langle f | g \rangle |^2 .

Step 2（積を対称部と反対称部に分ける）.

⟨f∣g⟩=⟨δA^ δB^⟩=12⟨{δA^, δB^}⟩+12⟨[A^, B^]⟩.\langle f | g \rangle =\langle \delta\hat A\,\delta\hat B \rangle =\tfrac12\langle \left\{\delta\hat A,\,\delta\hat B\right\} \rangle +\tfrac12\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle .

第1項の反交換子はエルミートなので期待値は実数、第2項の交換子は反エルミートなので期待値は純虚数（[δA^, δB^]=[A^, B^]\left[\delta\hat A,\,\delta\hat B\right]=\left[\hat A,\,\hat B\right] を使った）。

Step 3（実部と虚部は独立に効く）. 実部と純虚部は直交するから、∣⟨f∣g⟩∣2|\langle f | g \rangle |^2 は両者の2乗和以上、とくに純虚部だけでも下から評価できて

∣⟨f∣g⟩∣2 ≥ (12∣⟨[A^, B^]⟩∣)2.|\langle f | g \rangle |^2\ \ge\ \Bigl(\tfrac12\bigl|\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle \bigr|\Bigr)^2 .

Step 4（まとめ）. Step 1 と Step 3 をつなぎ、平方根をとれば

(ΔA)2(ΔB)2 ≥ 14∣⟨[A^, B^]⟩∣2 ⟹ ΔA ΔB ≥ 12∣⟨[A^, B^]⟩∣.(\Delta A)^2(\Delta B)^2\ \ge\ \tfrac14\bigl|\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle \bigr|^2 \ \Longrightarrow\ \Delta A\,\Delta B\ \ge\ \tfrac12\bigl|\langle \left[\hat A,\,\hat B\right] \rangle \bigr| .

[x^, p^]=iℏ\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar に適用すれば Δx Δp≥ℏ/2\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2。この不等式は「原理的に同時に確定できない」ことの表現であって、測定器の精度の問題ではない。

例題 2.3

オリジナル★★　不確定性から零点エネルギー ℏω/2\hbar\omega/2 を見積もる。不確定性関係だけから、調和振動子 H^=p^22M+Mω22x^2\hat H=\dfrac{\hat p^2}{2M}+\dfrac{M\omega^2}{2}\hat x^2 の基底エネルギーの下限を見積もれ。

解答

基底状態では対称性から ⟨x^⟩=⟨p^⟩=0\langle \hat x \rangle =\langle \hat p \rangle =0 とでき、⟨x^2⟩=(Δx)2\langle \hat x^2 \rangle =(\Delta x)^2、⟨p^2⟩=(Δp)2\langle \hat p^2 \rangle =(\Delta p)^2。エネルギー期待値は

E=(Δp)22M+Mω22(Δx)2 ≥ (Δp)22M+Mω22⋅ℏ24(Δp)2E=\frac{(\Delta p)^2}{2M}+\frac{M\omega^2}{2}(\Delta x)^2 \ \ge\ \frac{(\Delta p)^2}{2M}+\frac{M\omega^2}{2}\cdot\frac{\hbar^2}{4(\Delta p)^2}

（Δx≥ℏ/2Δp\Delta x\ge\hbar/2\Delta p を使った）。右辺を (Δp)2(\Delta p)^2 について最小化すると（相加相乗平均でもよい）最小値は

 E ≥ ℏω2 \boxed{\ E\ \ge\ \frac{\hbar\omega}{2}\ }

これは§1.4で厳密に求める零点エネルギーそのものである。「粒子を狭く閉じ込めるほど運動量が暴れ、運動エネルギーが上がる」——ポテンシャルの底に静止できない理由が不確定性で、そのせめぎ合いの妥協点が零点エネルギー ℏω/2\hbar\omega/2 だ。

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