◆発展：Wigner 関数——位相空間で見る量子状態

量子力学入門　第10部 第1章 §10.1.2　★ 発展：位相空間表示。密度行列の直観を補強する読み物

密度行列のもう一つの顔として、状態を位相空間の「準確率分布」で表す方法を紹介する。定義（1次元）：

$$W(x,p):=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d} y\ \langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}.$$

実関数であり、周辺分布が正しい：$\int W\,\mathrm{d} p=\langle x | \hat\rho | x \rangle$（位置分布）、$\int W\,\mathrm{d} x=\langle p | \hat\rho | p \rangle$（運動量分布）。期待値も古典力学と同じ顔で $\langle \hat A \rangle =\int W(x,p)\,A_{\rm W}(x,p)\,\mathrm{d} x\mathrm{d} p$ と書ける（$A_{\rm W}$：対応する位相空間関数）。ここまで見ると「量子力学は位相空間の確率論だった」と言いたくなるが——

$W$ は負になれる. 調和振動子の基底状態（ガウス波束）の $W$ は至るところ正のガウス分布だが、第1励起状態 $| 1 \rangle$ では原点で $W(0,0)=-1/\pi\hbar$（一般に $W_n(0,0)=(-1)^n/\pi\hbar$）。負値は「$x$ と $p$ を同時に持つ古典的な実在」が存在しないことの現れで、干渉・非古典性の指標として使われる（量子光学では $W$ の負値の直接観測が「量子性の証明書」になる）。不確定性原理は「$W$ が $\hbar$ より細かい構造だけでできた分布にはなれない」という形で刻まれている。

半古典との接続も美しい：$\hbar\to0$ で $W$ は古典位相空間分布に近づき、その時間発展方程式は Poisson 括弧の流れ（Liouville 方程式）＋$O(\hbar^2)$ の量子補正になる——第7部の第2章の「古典力学＝位相空間の流れ」の絵に、量子状態がそのまま重ね描きできる。Bohr–Sommerfeld の「面積 $h$ に1状態」も、$W$ の言葉では「1状態は位相空間で最低 $h$ の面積を占める」と読める。