◆Schmidt 分解の定理

量子力学入門　第10部 第2章 §10.2.1　★ 発展：2体純粋状態の標準形。もつれの有無を対角成分で読む道具

2粒子系の純粋状態 $| \Psi \rangle$ は、適切な正規直交基底 $\{| \phi_i \rangle \}_A,\{| \chi_i \rangle \}_B$ を選ぶと

$$| \Psi \rangle =\sum_i\Lambda_i\,| \phi_i \rangle \otimes| \chi_i \rangle \qquad(\Lambda_i\ge0,\ \textstyle\sum_i\Lambda_i^2=1)$$

と一重和で書ける（Schmidt 分解；一般の二重和 $\sum_{ij}c_{ij}| i \rangle | j \rangle$ が特異値分解で対角化される）。$\Lambda_i$ が2つ以上零でないとき、$| \Psi \rangle$ は直積に書けない——エンタングルした状態である。本章の主役は「部分系だけを見る」操作＝部分トレースと、それが生む縮約密度行列 $\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B| \Psi \rangle \langle \Psi |$ である。

まず上の主張をきちんと定理にし、証明しておく（線形代数の特異値分解そのものである）。

証明. 係数を行列 $C=(c_{ij})$ と見る。特異値分解 $C=U\Lambda V^\dagger$（$U,V$：ユニタリ、$\Lambda$：非負対角）が任意の行列に存在するから、$c_{ij}=\sum_kU_{ik}\Lambda_kV^*_{jk}$。これを代入し、$| \phi_k \rangle :=\sum_iU_{ik}| i \rangle _A$、$| \chi_k \rangle :=\sum_jV^*_{jk}| j \rangle _B$ とまとめれば主張の形になる（$U,V$ のユニタリ性が新基底の正規直交性を保証する）。規格化 $\langle \Psi | \Psi \rangle =1$ が $\sum\Lambda_k^2=1$ を与える。$\blacksquare$

物理として重要なのは、どんなに複雑にもつれた状態でも「対にした基底の1本和」まで整理できること、そして次節で見るように$\Lambda_k$ だけが部分系の物理を決めることである（基底の取り替えで消せない、もつれの「不変量」が $\{\Lambda_k\}$）。