CHSH 不等式の導出

量子力学入門　第10部 第3章 §10.3.2　★ 発展：古典相関の上限 $|S|\le2$ の導出

鍵は1行の恒等式である。$A,A',B,B'\in\{\pm1\}$ に対し

$$A(B+B')+A'(B-B')=\pm2$$

——なぜなら $B+B'$ と $B-B'$ は一方が $\pm2$ のとき他方が必ず $0$ だから（$B=B'$ なら第2項消滅、$B=-B'$ なら第1項消滅）。この式を $\rho(\lambda)$ で平均すると、$|\langle X \rangle |\le\max|X|$ より

$$\boxed{\ S:=\bigl|E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b')\bigr|\ \le\ 2\ } \qquad(\text{\textbf{CHSH 不等式}})\tag{10.3.1}$$

——局所実在論なら、どんな隠れた変数・どんな分布でも、この4つの相関の組合せは $2$ を超えられない。仮定は上の2つだけで、量子力学は一切使っていないことに注意。