量子力学は破る：Tsirelson 限界 $2\sqrt2$

量子力学入門　第10部 第3章 §10.3.3　★ 発展：量子相関が $2\sqrt2$ まで届く計算

スピン singlet $| \Psi^- \rangle =\frac{1}{\sqrt2}(| \uparrow\downarrow \rangle -| \downarrow\uparrow \rangle )$ で、Alice が $\bm{a}\cdot\hat{\bm{\sigma}}$、Bob が $\bm{b}\cdot\hat{\bm{\sigma}}$ を測るときの相関は

$$E(\bm{a},\bm{b})=\langle \Psi^- | (\bm{a}\cdot\hat{\bm{\sigma}})\otimes(\bm{b}\cdot\hat{\bm{\sigma}}) | \Psi^- \rangle =-\bm{a}\cdot\bm{b}$$

（singlet の回転不変性から従う；直接計算でも1行）。同一平面内の角度を $a=0,\ a'=90°,\ b=45°,\ b'=135°$ に選ぶと、各相関が $\mp\frac{1}{\sqrt2}$ となって

$$|S|=\Bigl|-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}-\Bigl(+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)\Bigr|\ \to\ \boxed{\ |S|=2\sqrt2\simeq2.83\ >\ 2\ }$$

（この角度での値は数値でも確認済み）——量子力学は CHSH 不等式を破る。しかも $2\sqrt2$ は量子力学が出せる最大値であることが示せる（Tsirelson 限界；$\hat S^2=4+\left[\hat A,\,\hat A'\right]\left[\hat B,\,\hat B'\right]$ の作用素ノルム評価から $\|\hat S\|\le2\sqrt2$）。「局所実在論の壁 $2$」と「量子の天井 $2\sqrt2$」の間の帯域が、実験の主戦場になる。