CNOT ゲート：合成系のユニタリ

量子力学入門　第10部 第4章 §10.4.2　★ 発展：もつれを生む2キュービットゲート。テレポートの部品

テレポーテーションの手順に入る前に、その主役であるCNOT（controlled-NOT）ゲートを紹介する。2量子ビット系（制御ビット・標的ビット）に作用するユニタリで、動作は「制御ビットが $| 1 \rangle$ のときだけ標的ビットを反転する」：

$$\hat U_{\rm CNOT}| 00 \rangle =| 00 \rangle ,\quad \hat U_{\rm CNOT}| 01 \rangle =| 01 \rangle ,\quad \hat U_{\rm CNOT}| 10 \rangle =| 11 \rangle ,\quad \hat U_{\rm CNOT}| 11 \rangle =| 10 \rangle .$$

基底 $\{| 00 \rangle ,| 01 \rangle ,| 10 \rangle ,| 11 \rangle \}$ での行列は

$$\hat U_{\rm CNOT}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix} =| 0 \rangle \langle 0 |\otimes\hat 1+| 1 \rangle \langle 1 |\otimes\hat\sigma^x$$

（右端の書き方が本質を語る：制御ビットの値で場合分けして、標的に $\hat1$ か $\hat\sigma^x$ を当てる）。行列から直ちに

$$\hat U_{\rm CNOT}^\dagger=\hat U_{\rm CNOT},\qquad \hat U_{\rm CNOT}^2=\hat 1$$

——エルミートかつユニタリ（実対称な置換行列）であり、2回当てると元に戻る。

CNOT の重要性は2つある。第一に、これは $\hat A\otimes\hat B$ の形に書けない演算子の代表例である（もし $\hat A\otimes\hat B$ なら標的への作用は制御の状態に依存できない）。局所操作の積では作れない「本物の2体ゲート」であり、だからこそ第二の性質——エンタングルメントを生成できる——が従う：

$$\hat U_{\rm CNOT}\,\Bigl[\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| 0 \rangle +| 1 \rangle \bigr)\otimes| 0 \rangle \Bigr] =\frac{1}{\sqrt2}\bigl(| 00 \rangle +| 11 \rangle \bigr)$$

——直積状態（Hadamard で作った重ね合わせ $\otimes$ $| 0 \rangle$）が一発で Bell 状態に化ける。制御の $| 0 \rangle$ 成分は標的を動かさず、$| 1 \rangle$ 成分だけが標的を反転する——「重ね合わせのまま場合分けが実行される」ことがもつれの源である。逆に（CNOT はエルミートで $\hat U^2=\hat1$ だから）同じゲートをもう一度当てれば Bell 状態を直積に戻せる——次節のテレポーテーションで Alice が行う「Bell 測定」は、この逆変換＋Hadamard＋$z$ 測定に分解できる。実際、任意の1量子ビットゲートと CNOT があれば任意の量子計算が組める（万能ゲート集合）ことが知られており、CNOT は量子回路の最小にして最強の2体部品である。