量子チャネル：ユニタリの部分トレース

量子力学入門　第10部 第5章 §10.5.1　★ 発展：CPTP 写像を環境の部分トレースとして導く

ここまで系の時間発展はユニタリだった。しかし現実の量子ビットは環境（電磁場・格子振動・迷い電荷）ともつれてしまい、系だけを見るとユニタリでない変化——デコヒーレンス——が起きる。本章では第4–5章の道具（密度行列・部分トレース）で開いた系の一般論（量子チャネル・Kraus 表現）を組み立て、量子ビットの寿命を測る2つの時間 $T_1,T_2$ の正体を突き止める。「なぜマクロな世界は古典的に見えるのか」への現代的な回答であり、量子計算機の誤り訂正（量子計算）が戦う相手の正体でもある。

系 S と環境 E が初期に無相関（$\hat\rho\otimes| e_0 \rangle \langle e_0 |$）で、全体がユニタリ $\hat U$ で発展したのち環境を見ない（トレースアウトする）とする。系の変化は

$$\mathcal E(\hat\rho)=\operatorname{Tr}_E\Bigl[\hat U\bigl(\hat\rho\otimes| e_0 \rangle \langle e_0 |\bigr)\hat U^\dagger\Bigr] =\sum_k\hat K_k\,\hat\rho\,\hat K_k^\dagger, \qquad \hat K_k:=\langle e_k | \hat U | e_0 \rangle$$

——環境の基底 $\{| e_k \rangle \}$ でトレースを書き下しただけで、Kraus 表現が出る。$\hat K_k$（Kraus 演算子）は系だけに作用し、$\hat U$ のユニタリ性から

$$\sum_k\hat K_k^\dagger\hat K_k=\hat 1 \qquad(\text{トレース保存}=\text{確率の保存})$$

を満たす。読み方：「環境が結果 $k$ を記録した」ことに対応する系の変化が $\hat K_k\hat\rho\hat K_k^\dagger$ で、我々はそれを読まずに足し上げている——測定して結果を捨てる操作の一般化である。逆に、Kraus 形で書ける写像は必ず「環境＋ユニタリ＋部分トレース」で実現できる（Stinespring 拡張）ので、Kraus 形＝物理的に許されるすべての状態変化（完全正・トレース保存写像、CPTP）と言ってよい。ユニタリ発展（$K$ が1個）も射影測定もこの枠の特別な場合である。