散乱の境界条件

量子力学入門　第11部 第2章 §11.2.1　★★ 入射平面波＋外向き球面波。境界条件こそが散乱問題の定義。

ポテンシャル $V(\bm{r})$（遠方で十分速く $0$ になるとする）による弾性散乱を考える。エネルギー $E=\hbar^2k^2/2m>0$ の定常状態

$$\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\bm{r})\Bigr]\psi(\bm{r})=E\,\psi(\bm{r})$$

のうち、散乱を記述するのは次の境界条件を満たす解である：

$$\psi(\bm{r})\ \xrightarrow[\ r\to\infty\ ]{}\ \underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}}_{\text{入射平面波}} +\underbrace{f(\theta,\phi)\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}}_{\text{外向き球面波}}\tag{11.2.1}$$

——「$z$ 方向から平面波が入り、標的から外向きの球面波が湧き出す」形である。球面波の振幅 $1/r$ は、確率が球殻に薄まる（$|\psi|^2r^2=$const.）ことの現れで、方向依存性を担う係数 $f(\theta,\phi)$（長さの次元）を散乱振幅という。束縛状態の境界条件が「無限遠で減衰」だったのに対し、散乱では (11.2.1) が問題を一意に指定する——境界条件こそが「散乱問題」の定義である。