散乱振幅と断面積：確率の流れで結ぶ

量子力学入門　第11部 第2章 §11.2.2　★★ 確率流の勘定から $\mathrm{d}\sigma/\mathrm{d}\Omega=|f|^2$。以後の目標は $f$ の計算に帰着。

$f$ と断面積の関係は、確率流 $\bm{j}=\frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}(\psi^*\nabla\psi)$ を数えれば出る。入射平面波の流束は

$$j_{\rm in}=\frac{\hbar k}{m}\qquad(\text{速さ }v=\hbar k/m\text{ の流れ}).$$

散乱波 $f\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/r$ の動径方向の流れは、$r$ 微分の主要項（$\partial_r\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}=\mathrm{i} k\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}$；$1/r$ の微分は $1/r^2$ で落ちる）から

$$j_r=\frac{\hbar k}{m}\,\frac{|f(\theta,\phi)|^2}{r^2},$$

これが距離 $r$ の球面上の面積 $r^2\mathrm{d}\Omega$ を単位時間に通る数は $j_r\,r^2\mathrm{d}\Omega=\frac{\hbar k}{m}|f|^2\mathrm{d}\Omega$。定義に代入して $\hbar k/m$ が約分され

$$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=|f(\theta,\phi)|^2\ }\tag{11.2.2}$$

——散乱の理論の目標は、散乱振幅 $f$ を求めることに帰着した。なお (11.2.1) の2つの項の干渉を無視したが、これは検出器が前方（$\theta=0$）以外にある限り正当である。前方では干渉が無視できず、そこにこそ深い内容（光学定理、第4章）が隠れている。