Green 関数：微分方程式を積分方程式に

量子力学入門　第11部 第3章 §11.3.1　★★ $G_+$ で境界条件を内蔵した積分方程式（Lippmann–Schwinger）へ。Born の道具立て。

境界条件 (11.2.1) を最初から組み込んだ形に方程式を書き換える。Schrödinger 方程式を

$$(\nabla^2+k^2)\,\psi(\bm{r})=\frac{2m}{\hbar^2}V(\bm{r})\,\psi(\bm{r})$$

と整理し、右辺を「湧き出し」と見なす。湧き出しが1点 $\bm{r}'$ に集中した場合の応答、すなわち

$$(\nabla^2+k^2)\,G(\bm{r}-\bm{r}')=\delta^3(\bm{r}-\bm{r}')$$

の解（Green 関数）が分かれば、一般の湧き出しへの応答は重ね合わせで書ける。外向き波の境界条件に合う解は

$$G_+(\bm{R})=-\frac{1}{4\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kR}}{R}\qquad(R=|\bm{R}|)\tag{11.3.1}$$

である。確かめは2段階：$R\neq0$ で $(\nabla^2+k^2)\mathrm{e}^{\mathrm{i} kR}/R=0$（球対称 Laplacian で直接計算；SymPy 確認済み）、および $R\to0$ で $-\frac{1}{4\pi R}$ に近づくので $\nabla^2(-\frac{1}{4\pi R})=\delta^3(\bm{R})$（静電気学の Poisson 方程式でおなじみの事実）から $\delta$ 関数が正しく出る。$\mathrm{e}^{+\mathrm{i} kR}$（外向き）を選んだところに境界条件が入っている（内向き $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kR}$ を選べば別の解 $G_-$）。

湧き出し $\frac{2m}{\hbar^2}V\psi$ への応答に、斉次解（自由平面波＝入射波）を足すと

$$\boxed{\ \psi(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\mathrm{d}^3r'\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k|\bm{r}-\bm{r}'|}}{|\bm{r}-\bm{r}'|}\,V(\bm{r}')\,\psi(\bm{r}')\ }\tag{11.3.2}$$

——Lippmann–Schwinger 方程式である。微分方程式＋境界条件が、境界条件を内蔵した1本の積分方程式にまとまった（$\psi$ が両辺に現れるので「解けた」わけではないが、逐次代入＝摂動展開の出発点として理想的な形である）。

遠方 $r\to\infty$ での形を読む。$V$ が効くのは $r'\lesssim(\text{ポテンシャルの到達距離})$ の領域だけだから、$r\gg r'$ として

$$|\bm{r}-\bm{r}'|\simeq r-\hat{\bm{r}}\cdot\bm{r}',\qquad \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k|\bm{r}-\bm{r}'|}}{|\bm{r}-\bm{r}'|}\simeq\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}}{r}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}'\cdot\bm{r}'} \qquad(\bm{k}':=k\hat{\bm{r}}:\ \text{散乱方向の波数})$$

と展開すると、(11.3.2) は自動的に (11.2.1) の形になり、散乱振幅が読み取れる：

$$f(\theta,\phi)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\mathrm{d}^3r'\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}'\cdot\bm{r}'}\,V(\bm{r}')\,\psi(\bm{r}').\tag{11.3.3}$$

これは厳密だが、右辺に未知の $\psi$ を含む。