Born 近似

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第11部第3章 Lippmann–Schwinger 方程式と Born 近似

AI 生成・木下が未勉強

量子力学入門　第11部第3章 §11.3.2　★★★ $f_{\rm B}\propto\tilde V(\bm{q})$ （ポテンシャルの Fourier 変換）、 $q=2k\sin(\theta/2)$ 。散乱の代表計算。

ポテンシャルが弱い（または入射エネルギーが高い）とき、散乱領域内でも波動関数は入射波からほとんど歪まない： $\psi(\bm{r}')\simeq\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}'}$ （ $\bm{k}=k\bm{e}_z$ ）。これを (11.3.3) に入れたものが（第1）Born 近似：

$\boxed{\ f_{\rm B}(\theta)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\mathrm{d}^3r\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{r}}\,V(\bm{r}) =-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\,\tilde V(\bm{q}),\qquad \bm{q}:=\bm{k}'-\bm{k}\ }\tag{11.3.4}$

——散乱振幅はポテンシャルの Fourier 変換である。 $\bm{q}$ は散乱で移った運動量（ $/\hbar$ ）＝運動量移行で、弾性散乱（ $|\bm{k}'|=|\bm{k}|=k$ ）では

$q=|\bm{k}'-\bm{k}|=2k\sin\frac\theta2.$

この式の読み方が散乱物理の勘所である：細かい構造（小さい長さスケール $d$ ）を見るには、大きな $q\sim1/d$ 、すなわち高エネルギーか大角度が要る——電子顕微鏡から深非弾性散乱によるクォークの発見まで、「加速器＝顕微鏡」の原理がこの1行に入っている。

例題 3.1（★★★ 湯川ポテンシャルと Rutherford 公式）

オリジナル湯川ポテンシャル $V(r)=\alpha\,\dfrac{\mathrm{e}^{-\mu r}}{r}$ （到達距離 $1/\mu$ ）の Born 散乱振幅と微分断面積を求め、 $\mu\to0$ （Coulomb）の極限で Rutherford の公式を導け。

解答

球対称なので (11.3.4) の角度積分を先に実行すると $\tilde V(q)=\frac{4\pi}{q}\int_0^\infty r\,V(r)\sin(qr)\,\mathrm{d} r$ 。湯川を代入して

$\tilde V(q)=\frac{4\pi\alpha}{q}\int_0^\infty \mathrm{e}^{-\mu r}\sin(qr)\,\mathrm{d} r=\frac{4\pi\alpha}{q^2+\mu^2}$

（この積分は SymPy で確認済み）。よって

$f_{\rm B}=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2(q^2+\mu^2)},\qquad \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{4m^2\alpha^2}{\hbar^4(q^2+\mu^2)^2}.$

「短距離力ほど（ $\mu$ 大）、大角度まで滑らかに散る」——Fourier 変換の不確定性そのものである。 $\mu\to0$ とし、 $q=2k\sin(\theta/2)$ 、 $E=\hbar^2k^2/2m$ を使って書き換えると

$\boxed{\ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\Bigl(\frac{\alpha}{4E}\Bigr)^{2}\frac{1}{\sin^4(\theta/2)}\ }$

——Rutherford の公式である（代数の整理も SymPy で確認済み。 $\alpha=Z_1Z_2e^2/4\pi\varepsilon_0$ ）。注目すべき点が3つ。(i) $\hbar$ が消えており、古典力学の Rutherford の計算と厳密に一致する——Coulomb 散乱は量子・古典・Born がすべて同じ答えを出す奇跡的な例である（Coulomb の長距離性と $1/r$ の特殊性による偶然で、一般には成り立たない）。(ii) 前方 $\theta\to0$ で発散し全断面積は無限大—— $1/r$ 力は「どんなに遠くを通る粒子も少しは曲げる」ため、的の面積が定義できない。現実には遮蔽（ $\mu\neq0$ ）が必ず入って有限になる。(iii) この角度分布が金箔実験のデータと合ったことこそ「原子の正電荷は一点に集中している＝原子核」の発見（1911）だった。 $\blacksquare$

Born 近似の適用条件を一言で言えば「散乱中心で波の歪みが小さい」こと。到達距離 $a$ ・深さ $V_0$ のポテンシャルに対する目安は、低エネルギーで $\frac{m|V_0|a^2}{\hbar^2}\ll1$ （井戸が浅くて束縛状態を作れない程度）、高エネルギーでは $\frac{|V_0|a}{\hbar v}\ll1$ と緩む——エネルギーを上げるほど Born は良くなる。逆に低エネルギー・強いポテンシャルの散乱は第5章の方法（部分波・散乱長）の出番である。

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