黄金律から見た Born 近似

量子力学入門　第11部 第3章 §11.3.3　★★★ Fermi の黄金律・時間依存摂動（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』）との接点。方法 (A) と (B) の橋渡し。

第1章で予告した方法 (B) を実行して、(11.3.4) を別ルートで導く。入射状態を箱規格化の平面波 $| \bm{k} \rangle$、終状態を $| \bm{k}' \rangle$ とし、$V$ を摂動と見て Fermi の黄金律（第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の第1章）を使うと、遷移レートは

$$w_{\bm{k}\to\bm{k}'}=\frac{2\pi}{\hbar}\,\bigl|\langle \bm{k}' | V | \bm{k} \rangle \bigr|^2\,\delta(E_{k'}-E_k), \qquad \langle \bm{k}' | V | \bm{k} \rangle =\frac{\tilde V(\bm{q})}{L^3}.$$

終状態を立体角 $\mathrm{d}\Omega$ 内で数え上げる（状態密度 $\rho=\frac{L^3}{(2\pi)^3}k'^2\frac{\mathrm{d} k'}{\mathrm{d} E}\mathrm{d}\Omega=\frac{L^3mk}{(2\pi)^3\hbar^2}\mathrm{d}\Omega$；第8部『時間依存摂動論とダイナミクス』の光電効果の計算と同一の手順）と、$\mathrm{d}\Omega$ への全レートは

$$\mathrm{d} w=\frac{2\pi}{\hbar}\frac{|\tilde V(q)|^2}{L^6}\cdot\frac{L^3mk}{(2\pi)^3\hbar^2}\,\mathrm{d}\Omega.$$

これを入射流束 $j_{\rm in}=\frac{\hbar k}{m}\cdot\frac{1}{L^3}$（箱の中に1個）で割れば $L$ が全て消えて

$$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}=\frac{\mathrm{d} w}{j_{\rm in}\,\mathrm{d}\Omega} =\Bigl(\frac{m}{2\pi\hbar^2}\Bigr)^{\!2}|\tilde V(q)|^2 =|f_{\rm B}|^2$$

——Born 近似と黄金律は同じものである（摂動の1次どうしだから当然ではあるが、「定常状態の境界値問題」と「時間発展の遷移レート」という全く違う顔の計算が同じ数を返すのは、理論の整合性の心強い検算である）。