自由粒子の球面波分解

量子力学入門　第11部 第4章 §11.4.1　★★ 平面波の Legendre 展開 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}=\sum(2\ell+1)\mathrm{i}^\ell j_\ell P_\ell$。部分波法の準備。

Born 近似の対極——低エネルギー・球対称——で威力を発揮するのが部分波の方法である。発想：球対称ポテンシャルでは角運動量 $\ell$ が保存する（第2部『対称性と結晶バンド』の第2章の一般定理）から、散乱を $\ell$ ごとの独立な1次元問題に分解してしまえばよい。

準備として、入射平面波を角運動量の固有波に展開する（第3部『中心力場と水素原子』の第1章の球面調和関数・動径方程式を使う）。$z$ 軸対称なので $m=0$ 成分（Legendre 多項式）だけが現れ、

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}=\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)\,\mathrm{i}^\ell\, j_\ell(kr)\,P_\ell(\cos\theta)\tag{11.4.1}$$

（$j_\ell$：球 Bessel 関数。この展開は数値的にも検証済み——$kr=3.7$ で60項の和が左辺と $10^{-10}$ で一致）。遠方での漸近形

$$j_\ell(kr)\ \xrightarrow[\ kr\to\infty\ ]{}\ \frac{\sin(kr-\ell\pi/2)}{kr} =\frac{1}{2\mathrm{i} kr}\Bigl[\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kr-\ell\pi/2)}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(kr-\ell\pi/2)}\Bigr]$$

が本質を語っている：平面波は、各 $\ell$ で「入ってくる球面波と出ていく球面波の、振幅が等しい重ね合わせ」である（入った分だけ出る：自由粒子の確率保存）。