位相のずれ

量子力学入門　第11部 第4章 §11.4.2　★★ $\delta_\ell(k)$ が遠方に届く全情報。引力で $\delta_\ell>0$、斥力で $<0$、$S_\ell=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_\ell}$。

ポテンシャルがあるとき、動径波動関数 $u_\ell(r)=rR_\ell(r)$ は

$$-\frac{\hbar^2}{2m}u_\ell''+\Bigl[V(r)+\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2}\Bigr]u_\ell=E\,u_\ell$$

に従う（遠心力ポテンシャル込みの1次元問題；第3部『中心力場と水素原子』の第1章）。$V$ の到達距離の外では自由の方程式に戻るから、遠方の解は自由解の位相をずらしたもの

$$u_\ell(r)\ \xrightarrow[\ r\to\infty\ ]{}\ \sin\Bigl(kr-\frac{\ell\pi}{2}+\delta_\ell\Bigr)\tag{11.4.2}$$

にしかなり得ない。この $\delta_\ell(k)$——位相のずれ——が、ポテンシャルの情報のうち遠方の観測者に届く全てである。物理的な意味も明快で（図 4.1）：引力は波を内側へ引き込んで位相を進め（$\delta_\ell>0$）、斥力は押し出して遅らせる（$\delta_\ell<0$）。

図 4.1：s 波（$\ell=0$）の動径波動関数。ポテンシャルは波形を遠方まで変えられないが、位相を $\delta_0$ だけずらす。

なぜ弾性散乱では位相「しか」変わらないのか。確率保存（入る流れ＝出る流れ）により、各 $\ell$ の外向き波の振幅の大きさは入射波と同じでなければならず、許される変更は外向き波に単位円上の因子 $S_\ell=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\delta_\ell}$（S 行列の対角成分）を掛けることだけだからである。ずれが $2\delta_\ell$ なのは、波が「行き」と「帰り」で1回ずつ $\delta_\ell$ を拾うと思えばよい。